Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VI. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

§ 46. Волновое уравнение

Электромагнитное поле в пустоте определяется уравнениями Максвелла, в которых надо положить . Выпишем их еще раз:

Эти уравнения могут иметь отличные от нуля решения. Это значит, что электромагнитное поле может существовать даже при отсутствии каких бы то ни было зарядов.

Электромагнитные поля, существующие в пустоте при отсутствии зарядов, называют электромагнитными волнами. Мы займемся теперь исследованием свойств таких полей.

Прежде всего отметим, что эти поля обязательно должны быть переменными. Действительно, в противном случае , и уравнения (46,1-2) переходят в уравнения (36,1-2) и (43,1-2) постоянного поля, в которых, однако, теперь Но решения этих уравнений, определенные формулами.. (36,8) и (43,5), при р = 0, j = 0 обращаются в нуль.

Выведем уравнения, определяющие потенциалы электромагнитных волн.

Как мы уже знаем, в силу неоднозначности потенциалов всегда можно наложить на них некоторое дополнительное условие. На этом основании выберем потенциалы электромагнитных волн так, чтобы скалярный потенциал был равен нулю:

Тогда

Подставляя оба эти выражения в первое из уравнений (46,2), находим:

Несмотря на то, что мы уже наложили одно дополнительное условие на потенциалы, потенциал А все же еще не вполне однозначен. Именно, к нему можно прибавить градиент любой не зависящей от времени функции (не меняя при этом ). В частности, можно выбрать потенциал электромагнитной волны таким образом, чтобы

Действительно, подставляя Е из (46,4) в div Е = 0, имеем:

т. е. есть функция только от координат. Эту функцию всегда можно обратить в нуль прибавлением к А градиента от соответствующей не зависящей от времени функции.

Уравнение (46,5) приобретает теперь вид

Это и есть уравнение, определяющее потенциал электромагнитных волн. Оно называется уравнением д'Аламбера или волновым уравнением.

Применяя к (46,7) операции rot и , убедимся в том, что напряженности Е и Н удовлетворяют таким же волновым уравнениям.

Повторим вывод волнового уравнения в четырехмерном виде. Для этого напишем вторую пару уравнений Максвелла для поля в отсутствие зарядов в виде

(уравнение (30,2) с Подставив сюда , выраженные через потенциалы:

получим:

Наложим на потенциалы дополнительное условие

(это условие называют лоренцевым, а об удовлетворяющих ему потенциалах говорят как о потенциалах в лоренцевой калибровке).

Тогда в уравнении (46,8) первый член выпадает и остается

Это и есть волновое уравнение, записанное в четырехмерном виде).

В трехмерной форме условие (46,9) имеет вид

(46,11)

Оно является более общим, чем использованные нами выше условия потенциалы, удовлетворяющие этим последним, удовлетворяют также и условию, (46,11). В отличие от них, однако, условие Лоренца имеет релятивистски инвариантный характер: потенциалы, удовлетворяющие ему в одной системе отсчета, удовлетворяют ему и во всякой другой системе (между тем как условия (46,3), (46,6) нарушаются, вообще говоря, при преобразовании системы отсчета).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление