Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 64. Спектральное разложение запаздывающих потенциалов

Поле, создаваемое движущимися зарядами, можно разложить на монохроматические волны. Потенциалы отдельной монохроматической компоненты поля имеют вид . Плотности заряда и тока создающей поле системы тоже можно подвергнуть спектральному разложению. Ясно, что за создание определенной монохроматической компоненты поля ответственны соответствующие компоненты от .

Для того чтобы выразить спектральные компоненты поля через компоненты плотностей заряда и тока, подставляем в (62,9) вместо соответственно . Мы находим тогда:

Сокращая на и вводя абсолютную величину волнового вектора имеем:

Аналогично, для получим:

Заметим, что формула (64,1) представляет собой обобщение решения уравнения Пуассона на более общее уравнение вида

(получающееся из уравнения (62,4) при зависящих от времени посредством множителя

При разложении в интеграл Фурье компонента Фурье плотности заряда есть

Подставляя это выражение в (64,1), получим:

Здесь надо еще перейти от непрерывного распределения плотности зарядов к точечным зарядам, о движении которых фактически идет речь. Так, если имеется всего один точечный заряд, то полагаем:

где — радиус-вектор заряда, являющийся заданной функцией времени. Подставляя это выражение в (64,4) и производя интегрирование по (сводящееся к замене на ), получим:

где теперь — расстояние от движущейся частицы до точки наблюдения. Аналогичным образом, для векторного потенциала получим:

где — скорость частицы.

Формулы, аналогичные (64,5-6), могут быть написаны и в случае, когда спектральное разложение плотностей заряда и тока содержит дискретный ряд частот. Так, при периодическом (с периодом ) движении точечного заряда спектральное разложение поля содержит лишь частоты вида и соответствующие компоненты векторного потенциала

(и аналогично для ). В обоих случаях (64,6-7) компоненты Фурье определены в соответствии с § 49.

Задача

Разложить поле равномерно и прямолинейно движущегося заряда на плоские волны.

Решение. Поступаем аналогично тому, как делалось в § 51. Плотность заряда пишем в виде , где v — скорость частицы. Взяв компоненту Фурье от уравнения , находим:

С другой стороны, из

имеем:

Таким образом,

откуда окончательно

Отсюда видно, что волна с волновым вектором к обладает частотой .

Аналогично находим для векторного потенциала:

Наконец, для поля имеем:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление