Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 86. Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором

Докажем, что ковариантная производная от метрического тензора равна нулю. Для этого заметим, что для вектора , как и для всякого вектора, должно иметь место соотношение

С другой стороны, , и потому

Сравнивая с , имеем в виду произвольности вектора :

Поэтому и ковариантная производная

Таким образом, при ковариантном дифференцировании надо рассматривать как постоянные.

Равенством можно воспользоваться для того, чтобы выразить символы Кристоффеля через метрический тензор Для этого напишем согласно общему определению (85,14);

Таким образом, производные от выражаются через символы Кристоффеля. Напишем эти производные, переставляя индексы :

Езяв полусумму этих равенств, находим (помня, что ).

Отсюда имеем для символов :

Эта формулы и дают искомые выражения символов Кристоффеля через метрический тензор.

Выведем полезное для дальнейшего выражение для упрощенного символа Кристоффеля Г. Для этого определим дифферент циал определителя g, составленного из компонент тензора можно получить, взяв дифференциал от каждой компоненты тензора и умножив ее на свой коэффициент в определителе, т. е. на соответствующий минор. С другой стороны, компоненты тензора g обратного тензору , равны, как известно, минорам определителя из величин деленным на этот определитель. Поэтому миноры определителя g равны . Таким образом,

(86,4)

(поскольку то ).

Из (86,3) имеем:

Меняя местами индексы в третьем и первом членах в скобках, видим, что оба эти члена взаимно сокращаются, так что

или согласно (86,4)

Полезно заметить также выражение для величины . Имеем:

С помощью (86,4) это можно преобразовать к виду

При различных вычислениях бывает полезным иметь в виду, что производные от контравариантного тензора связаны с производными от соотношениями

(получающимися при дифференцировании равенства

Наконец, укажем, что производные от тоже могут быть выражены через величины . Именно, из тождества непосредственно следует, что

С помощью полученных формул можно привести к удобному виду выражение являющееся обобщением дивергенции вектора на криволинейные координаты. Воспользовавшись (86,5), имеем:

или окончательно

Аналогичное выражение можно получить и для дивергенции антисимметричного тензора . Из (85,12) имеем:

Но поскольку , то

Подставляя выражение (86,5) для находим, следовательно:

(86,10)

Пусть теперь — симметричный тензор; определим выражение для его смешанных компонент. Имеем:

Последний член здесь равен

В силу симметрии тензора два члена в скобках взаимно кращаются, и остается

В декартовых координатах есть антисимметричный тензор. В криволинейных координатах этот тензор есть Однако с помощью выражений для и ввиду того, что имеем:

Наконец, преобразуем к криволинейным координатам сумму - вторых производных от некоторого скаляра Очевидно, что в криволинейных координатах эта сумма перейдет в . Но , так как ковариантное дифференцирование скаляра сводится к обычному дифференцированию. Поднимая индекс l, имеем:

и с помощью формулы (86,9) находим:

Полезно заметить, что теорема Гаусса (83,17) для преобразования интеграла от вектора по гиперповерхности в интеграл по 4-объему может быть написана ввиду (86,9) как

(86,14)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление