Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Вариационный принцип

Уравнение Шредингера в общем виде может быть получено из вариационного принципа

Ввиду комплексности варьирование по и можно производить незазисимо. Варьируя по имеем

откуда, ввиду произвольности , получаем искомое уравнение . Варьирование по не дает ничего нового. Действительно, варьируя по и воспользовавшись эрмитовостью оператора Н, имеем

откуда получается комплексно сопряженное уравнение .

Вариационный принцип (20,1) требует безусловного экстремума интеграла. Его можно представить в другом виде, рассматривая Е как множитель Лагранжа в задаче об условном экстремуме

при дополнительном условии

Минимальное (при дополнительном условии (20,3)) значение интеграла (20,2) представляет собой первое из собственных значений энергии, т. е. энергию нормального состояния.

Осуществляющая этот минимум функция есть соответственно волновая функция нормального состояния. Волновые же функции следующих стационарных состояний соответствуют лишь экстремуму, а не истинному минимуму интеграла.

Для того чтобы получить из условия минимальности интеграла (20,2) волновую функцию и энергию следующего после нормального состояния, надо допускать в качестве конкурирующих функций только те, которые удовлетворяют не только условию нормировки (20,3), но и условию ортогональности к волновой функции нормального состояния Вообще, если известны волновые функции первых состояний (состояния расположены в порядке возрастания их энергий), то волновая функция следующего состояния осуществляет минимум интеграла (20,2) при дополнительных условиях!

(20,4)

Приведем здесь некоторые общие теоремы, которые могут быть доказаны на основании вариационного принципа.

Волновая функция нормального состояния не обращается в нуль (или, как говорят, не имеет узлов) ни при каких конеч значениях координат. Другими словами, она имеет одинаковый знак во всем пространстве. Отсюда следует, что волновые функции других стационарных состояний, ортогональные к непременно имеют узловые точки (если — тоже постоянного знака, то интеграл не может обратиться в нуль).

Далее, из факта отсутствия узлов следует, что нормальный энергетический уровень не может быть вырожденным. Действительно, предположим противное, и пусть — две различные собственные функции, соответствующие уровню Всякая линейная комбинация тоже будет собственной функцией; но, выбирая соответствующим образом постоянные всегда можно добиться обращения этой функции в нуль в любой заданной точке пространства, т. е. мы получили бы собственную функцию с узлами.

Если движение происходит в ограниченной области пространства, то на границе этой области должно быть (см. § 18). Для определения уровней энергии нужно найти из вариационного принципа минимум интеграла (20,2) при этом граничном условии. Теорема об отсутствии узлов у волновой функции нормального состояния гласит здесь, что не обращается в нуль нигде внутри указанной области.

Отметим, что при увеличении размеров области движения все уровни энергии уменьшаются; это следует непосредственно из того, что возрастание области увеличивает круг конкурирующих функций, осуществляющих минимум интеграла, в результате чего минимальное значение интеграла может только уменьшиться.

Выражение

для состояний дискретного спектра системы частиц может быть преобразовано к другому виду, более удобному для фактического варьирования. В первом члене подынтегрального выражения пишем

Интеграл от по преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной замкнутой поверхности, и поскольку на бесконечности волновые функции состояний дискретного спектра обращаются в нуль достаточно быстро, то этот интеграл исчезает. Таким образом,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление