Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. IV. Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 133. Связь между «затравочным» и истинным зарядами

Применимость формулы (132,14) ограничена, однако, со стороны больших в связи с уменьшением ее знаменателя. Действительно, вывод этой формулы основан на пренебрежении диаграммой (132,13) (и другими, с еще большим числом жирных фотонных линий) по сравнению с диаграммой (132,12). Но добавление каждой такой линии привносит в диаграмму множитель с точным пропагатором .

При этом роль малого параметра играет, вместо величина

Когда, по мере возрастания эта величина по порядку сравнивается с единицей, из теории, по существу, вообще исчезает малый параметр.

Возникающую ситуацию можно понять более ясно, если при выводе (132,14) производить перенормировку не «на ходу», а путем предварительного введения «затравочного» заряда электрона который в дальнейшем подбирается так, чтобы привести к правильному наблюдаемому значению физического заряда (см. § 110). Если интеграл «обрезается», как это было сделано выше, на вспомогательном верхнем пределе то затравочный заряд будет его функцией, и в заключение должен быть произведен переход к пределу

При таком способе подхода к задаче поляризационный оператор будет

(выражение (132,8) с вместо ), и соответственно

Определив теперь физический заряд согласно условию

получим

(133,3)

или

(133-4)

Если формально перейти в (133,3) к пределу то независимо от вида функции . Такая «нулификация» заряда означает, разумеется, невозможность строгого проведения перенормировки. Этот переход к пределу нельзя, однако, произвести, не нарушив предположений, сделанных при выводе (133,3).

Из (133,4) видно, что по мере увеличения (при заданном значении растет; но уже при формулы теряют свою применимость, поскольку их вывод основан на предположении

(133,5)

как условии применимости теории возмущений к «затравочному» взаимодействию. Нарушение неравенства (133,5) при увеличении имеет важное принципиальное значение. Оно означает логическую неполноту квантовой электродинамики как теории со слабым взаимодействием. По существу это означает логическую неполноту имеющейся теории вообще. Действительно, ее аппарат связан именно с возможностью рассматривать электромагнитное взаимодействие как слабое возмущение. Все вычисляемые величины получаются в теории в виде рядов по степеням причем эти ряды являются в действительности асимптотическими. Для придания этим рядам определенного смысла при не малых значениях во всяком случае, требовались бы дополнительные соображения, не следующие из общих принципов существующей теории.

В то же время следует подчеркнуть, что в квантовой электродинамике описанные трудности могут иметь лишь чисто теоретическое значение. Они возникают при фантастически огромных энергиях, не представляющих никакого реального интереса. Можно ожидать, что в действительности уже несравненно раньше электромагнитные взаимодействия «запутываются» со слабыми и сильными взаимодействиями, в результате чего чистая электродинамика теряет смысл.

В заключение этого параграфа покажем, каким образом формулы (133,3-4) могут быть получены с помощью простых рассуждений, основанных на смысле понятия перенормировки и на соображениях размерности (М. Gell-Mann, F. Low, 1954).

Рассмотрим квадрат затравочного заряда как функцию параметра обрезания, и введем функцию d, определяющую соотношение между значениями при двух различных значениях ее аргумента:

При функция d не зависит от будучи безразмерной величиной, она может быть функцией только безразмерных же величин

От этого функционального соотношения можно перейти к дифференциальному уравнению. Для этого напишем равенство (133,6) для бесконечно близких значений ; и Обозначив и положив получим для функции следующее дифференциальное уравнение:

(133,7)

Здесь введено обозначение

и учтено, что, по определению (133,6), . Интегрируя уравнение (133,7) в пределах от до , получаем

(133,9)

Во всей области интегрирования мало. Поэтому можно воспользоваться для выражением, отвечающим первому приближению теории возмущений. Поправка к затравочному заряду, дается величиной Взяв для поляризационного оператора его первое приближение (132,1), найдем

после чего интегрирование в (133,9) приводит к результату

При затравочный заряд стремится к истинному заряду , и тогда (133,10) совпадает с (133,3-4).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление