Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. IV. Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА IX. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ

§ 80. Рассеяние электрона во внешнем поле

Упругое рассеяние электрона в постоянном внешнем поле представляет собой простейший процесс, существующий уже в первом приближении теории возмущений (первое борновское приближение). Ему отвечает диаграмма с одной вершиной

где — начальный и конечный 4-импульсы электрона, а . Поскольку энергия электрона при рассеянии в постоянном поле сохраняется то Соответствующая амплитуда рассеяния

где — компонента пространственного разложения Фурье внешнего поля. Сечение рассеяния согласно (64,26):

Для электростатического поля так что

В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды плоских волн сводятся к нерелятивистским (двухкомпонентным) амплитудам. Для рассеяния без изменения поляризации это — не зависящая от величина, причем в силу принятого нами условия нормировки Учитывая это, получаем

где — компонента Фурье потенциальной энергии электрона в поле; это выражение совпадает с известной формулой Борна (III (126,7)).

В общем релятивистском случае сечение рассеяния неполяризованных электронов получается усреднением квадрата по начальным и суммированием по конечным поляризациям, т. е. путем образования величины

где суммирование производится по направлениям спина начального и конечного электронов; множитель превращает одно из этих суммирований в усреднение. По изложенным в § 65 правилам получим

Для вычисления следа замечаем, что где . и потому

Отсюда сечение

Для поля, создаваемого статическим распределением зарядов с плотностью имеем

где — фурье-образ распределения (формфактор). В частности, для кулонова поля точечного заряда имеем: Тогда сечение рассеяния

(N. F. Mott, 1929). Квадрат

где — угол рассеяния.

Поэтому выражение перед скобкой по своей угловой зависимости может быть названо резерфордовским сечением:

(в нерелятивистском пределе коэффициент образом

Отметим, что в ультрарелятивистском случае угловое распределение отличается от нерелятивистского сильным подавлением рассеяния назад (при ).

В ультрарелятивистском случае для рассеяния на малые углы (80,7) дает

(80,10)

Хотя мы получили эту формулу в борновском приближении (т. е. предполагая ), но она остается справедливой (для углов ) также и при . В этом можно убедиться с помощью ультрарелятивистской точной (по ) волновой функции Это решение, справедливое в области (39,2), остается, конечно, справедливым и в асимптотической области сколь угодно больших . Здесь

так что поправочный член остается, как и следовало ожидать, малым. Волновая же функция вида совпадая по форме с нерелятивистской функцией (с очевидным изменением параметров), имеет тот же асимптотический вид, а поэтому и для сечения получается резерфордовское выражение.

Для вычисления сечения рассеяния произвольно поляризованных электронов можно было бы воспользоваться по общим правилам матрицей плотности (29,13). В данном случае, однако, можно получить результат менее громоздким способом, представив биспинорные амплитуды в виде (23,9); перемножив их, получим

или, воспользовавшись формулой (33,5),

(80,11)

где

(80,12)

Двухкомпонентная величина (-спинор) w представляет собой нерелятивистскую спиновую волновую функцию электрона. Переход к частично поляризованным состояниям осуществляется поэтому заменой произведений — спинорные индексы) нерелятивистской двухрядной матрицей плотности Таким образом, надо заменить

где

а — векторы начальной и конечной поляризации, выделяемой детектором. Вычисление следа приводит к результату

(80,13)

где — сечение рассеяния неполяризованных электронов.

Представив фигурную скобку в (80,13) в виде найдем поляризацию конечного электрона как такового (в отличие от детектируемой поляризации — см. § 65):

Мы видим, что рассеянные электроны поляризованы, лишь если поляризованы падающие электроны. Это обстоятельство — общее свойство первого борновского приближения (ср. III, § 140).

В нерелятивистском случае из (80,14) получается т. е. электрон сохраняет при рассеянии свою поляризацию (естественное следствие пренебрежения спин-орбитальным взаимодействием).

В обратном, ультрарелятивистском, случае имеем

(в соответствии с общей формулой (38,2)).

Если при этом падающий электрон имеет определенную спиральность то из (80,14) получается после простого приведения

Другими словами, после рассеяния электрон остается спиральным, сохраняя прежнее значение спиральности.

Это свойство, как уже было объяснено в § 38, связано с тем, что при пренебрежении массой уравнение Дирака в спинорном представлении распадается на два независимых уравнения для функций . Этот результат имеет и более общее значение, поскольку ток

а с ним и оператор электромагнитного возмущения не содержат смешанных по f и членов, а потому не имеют матричных элементов для переходов между и состояниями. Отсюда следует, что если ультрарелятивистский электрон обладает определенной спиральностью (т. е. отлично от нуля либо , либо ), то в процессах взаимодействия эта спиральность будет сохраняться в приближении, отвечающем полному пренебрежению массой электрона.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление