Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 108. Энергия гравитирующего тела

Гравитационная потенциальная энергия тела определяется, как известно, интегралом

взятым по всему объему тела. Нам, однако, будет удобнее исходить из другого представления этой величины, которое можно получить следующим образом. Представим себе, что тело постепенно «составляется» из вещества, «приносимого» из бесконечности. Пусть есть масса вещества, заключенного внутри сферы радиуса . Предположим, что масса с некоторым определенным уже принесена из бесконечности; тогда работа, необходимая для доставления дополнительной массы , равна потенциальной энергии этой массы (распределенной в виде шарового слоя радиуса и толщины ) в поле массы , т. е.

Поэтому полная гравитационная энергия сферы радиуса R есть

Продифференцировав условие равновесия (107,2), получим

(дифференцирование должно производиться при постоянной температуре, — объем, отнесенный к одной частице).

Производная есть сила тяготения, действующая на единицу массы на расстоянии от центра; она равна — . Вводя также плотность , получаем

(108-3)

Выразив отсюда через и написав представим выражение (108,2) в виде

Интегрируя теперь по частям (и учитывая, что на границе тела и что при ), получим

(108,4)

Таким образом, гравитационная энергия равновесного тела может быть выражена в виде интеграла от его давления по объему.

Применим эту формулу к рассмотренным в предыдущем параграфе телам из вырожденного ферми-газа. При этом произведем вычисления в общем виде, положив, что химический потенциал вещества пропорционален некоторой степени его плотности:

(108,5)

Имея в виду, что , находим давление

(108,6)

В условии равновесия постоянная в правой стороне равенства есть не что иное, как потенциал на границе тела, где обращается в нуль; этот потенциал равен — ( — полная масса тела), так что можно написать:

Подставляем это выражение в интеграл (108,1), определяющий гравитационную энергию, и, воспользовавшись формулами (108,5—6), находим

Наконец, выразив интеграл в правой части равенства через согласно (108,4), получим

Таким образом, гравитационная энергия тела выражается простой формулой через его полную массу и радиус.

Аналогичную формулу можно получить и для внутренней энергии тела Е. Внутренняя энергия, отнесенная к одной частице, равна (при равной нулю температуре и энтропии); поэтому энергия, отнесенная к единице объема, есть

(в последнем равенстве использованы (108,5-6)). Поэтому внутренняя энергия всего тела

(108,8)

Наконец, полная энергия тела

(108,9)

Для нерелятивистского вырожденного газа имеем так что

В ультрарелятивистском же случае имеем так что

(108,11)

Полная энергия равна в этом случае нулю в соответствии с изложенными в предыдущем параграфе качественными соображениями о равновесии такого тела.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление