Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 126. Операторное выражение обобщенной восприимчивости

Флуктуационно-диссипационную теорему можно рассматривать также и в обратном аспекте, прочтя равенство (124,9) справа налево и записав в явном виде как фурье-компоненту корреляционной функции:

(126,1)

В таком виде эта формула дает принципиальную возможность вычисления функции по микроскопическим свойствам системы. Недостаток ее состоит, однако, в том, что ею прямо определяется лишь мнимая часть, а не вся функция . Можно получить аналогичную формулу, лишенную этого недостатка. Для этого произведем прямое квантовомеханическое вычисление среднего значения в возмущенной системе (с оператором возмущения (124.5)).

Пусть — волновые функции невозмущенной системы. Следуя общему методу (см. III, § 40), ищем волновые функции возмущенной системы в первом приближении в виде

(126,2)

где коэффициенты удовлетворяют уравнениям

При решении этого уравнения следует считать, что возмущение «адиабатически» включается к моменту времени t от времени (ср. III, § 43); это значит, что в множителях надо заменить (где символ означает при Тогда

(126,3)

С помощью полученной таким образом функции вычисляем среднее значение величины как соответствующий диагональный матричный элемент оператора . В том же приближении имеем

Сравнив этот результат с определением (123,9), найдем,

(126,4)

Вещественная и мнимая части в этом выражении разделяются с помощью формулы

(см. III, (43,10)). Для мы вернемся, разумеется, к прежнему результату (124,8).

Легко видеть, что выражение (126,4) представляет собой фурье-образ функции

(как и в случае корреляционной функции, это среднее значение зависит, конечно, только от разности моментов времени, в которые берутся два оператора ). Действительно, вычисляя функцию (126,6) как диагональный матричный элемент по отношению к стационарному состоянию системы (невозмущенной), имеем при

где переход к не зависящим от времени матричным элементам произведен по обычному правилу:

Поскольку функция отлична от нуля только при ее фурье-образ вычисляется по формуле

и совпадает с (126,4).

Таким образом, приходим окончательно к следующему результату:

(126,8)

(R. Kubo, 1956). Будучи справедливой при усреднении по всякому заданному стационарному состоянию системы, эта формула остается тем самым без изменений и после усреднения по распределению Гиббса.

Для обобщенных восприимчивостей , определяющих отклик системы на возмущение, затрагивающее несколько величин аналогичная формула гласит:

Задача

Определить асимптотическое поведение при (полагая, что ).

Решение. При в (126,8) существенны малые значения t. Полагая , находим

(одинаковый аргумент в операторах опускаем). Интеграл вычисляется дифференцированием (126,7) по со и дает

эта формула справедлива, если стоящее в ней среднее значение коммутатора отлично от нуля.

Будучи четной функцией а, выражение (1) вещественно, что является асимптотикой функции . С другой стороны, из (123,15) имеем при

(здесь учтена нечетность функции ). Сравнив это выражение с (1), найдем следующее «правило сумм» для :

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление