Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 29. Распределение Максвелла

Энергия в формуле распределения Гиббса классической статистики всегда может быть представлена как сумма двух частей — кинетической и потенциальной энергий. Из них первая есть квадратичная функция от импульсов атомов, а вторая функция от их координат, причем вид этой функции зависит от закона взаимодействия частиц внутри тела (и от внешнего поля, если таковое имеется). Если кинетическую и потенциальные энергии обозначить соответственно как , то и вероятность напишется в виде

т. е. разбивается на произведение двух множителей, из которых один зависит только от координат, а другой — только от импульсов. Это означает, что вероятности для импульсов и координат независимы друг от друга в том смысле, что определенные значения импульсов никак не влияют на вероятности тех или иных значений координат, и обратно.

Таким образом, вероятность различных значений импульсов может быть написана в виде

а распределение вероятности для координат

Так как сумма вероятностей всех возможных значений импульсов (и то же самое для координат) должна быть равна единице, то каждая из вероятностей должна быть нормирована, т. е. их интегралы по всем возможным для данного тела значениям импульсов или координат должны быть равны единице. Из этих условий можно определить постоянные а и b в (29,1) и (29,2).

Займемся изучением распределения вероятностей для импульсов, еще раз подчеркнув при этом весьма существенный факт, что в классической статистике такое распределение нисколько не зависит от рода взаимодействия частиц внутри системы или от рода внешнего поля и потому распределение может быть выражено в виде, пригодном для любых тел.

Кинетическая энергия всего тела равна сумме кинетических энергий каждого из входящих в него атомов, и вероятность опять разбивается на произведение множителей, из которых каждый зависит от импульсов только одного из атомов. Это вновь означает, что вероятности импульсов различных атомов не зависят друг от друга, т. е. импульс одного из них никак не влияет на вероятности импульсов всех других. Поэтому можно писать распределение вероятностей для импульсов каждого атома в отдельности.

Для атома с массой кинетическая энергия равна , где — декартовы составляющие его импульса, а распределение вероятностей имеет вид

Постоянная а определяется условием нормировки. Интегрирования по разделяются и производятся с помощью известной формулы

В результате находим и мы получаем окончательное распределение вероятностей для импульсов в виде

Переходя от импульсов к скоростям можно написать аналогичное распределение для скоростей:

(29,4)

Это — так называемое распределение Максвелла (J. С. Maxwell, 1860 г.). Заметим, что оно снова распадается на произведение трех независимых множителей:

каждый из которых определяет распределение вероятностей для отдельной компоненты скорости.

Если тело состоит из молекул (например, многоатомный газ), то наряду с распределением Максвелла для отдельных атомов такое же распределение имеет место и для поступательного движения молекул как целых. Действительно, из кинетической энергии молекулы можно выделить в виде слагаемого энергию поступательного движения, в результате чего искомое распределение выделится в виде выражения (29,4), в котором под m надо будет понимать полную массу молекулы, а под — компоненты скорости ее центра инерции. Подчеркнем, что распределение Максвелла для поступательного движения молекул может иметь место вне зависимости от характера внутримолекулярного движения атомов (и вращения молекулы), в том числе и в случае, когда последнее должно описываться квантовым образом.

Выражение (29,4) написано в декартовых координатах в «пространстве скоростей». Если от декартовых координат перейти к сферическим, то получится

где v — абсолютная величина скорости, — полярный угол и азимут, определяющие направление скорости. Интегрируя по углам, найдем распределение вероятностей для абсолютной величины скорости

Иногда бывает удобно пользоваться цилиндрическими координатами в пространстве скоростей. Тогда

где - компонента скорости по оси z, - перпендикулярная к оси z компонента скорости, а — угол, определяющий направление последней.

Вычислим среднее значение кинетической энергии атома. Согласно определению средних значений и пользуясь (29,5), находим для любой декартовой компоненты скорости

Поэтому среднее значение кинетической энергии атома равно . Можно, следовательно, сказать, что средняя кинетическая энергия всех частиц тела в классической статистике всегда равна , где N — полное число частиц.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление