Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА V. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ

§ 53. Распределение Ферми

Если температура идеального газа (при заданной его плотности) достаточно низка, то статистика Больцмана становится неприменимой, и должна быть построена другая статистика, в которой средние числа заполнения различных квантовых состояний частиц не предполагаются малыми.

Эта статистика, однако, оказывается различной в зависимости от того, какого рода волновыми функциями описывается газ, рассматриваемый как система N одинаковых частиц. Как известно, волновые функции должны быть либо антисимметричными, либо симметричными по отношению к перестановкам любой пары частиц, причем первый случай имеет место для частиц с полуцелым, а второй для частиц с целым спином.

Для системы частиц, описывающейся антисимметричными волновыми функциями, справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной частицы. Статистика, основанная на этом принципе, называется статистикой Ферми (или статистикой Ферми-Дирака).

Подобно тому как мы это делали в § 37, применим распределение Гиббса к совокупности всех частиц газа, находящихся в данном квантовом состоянии; как уже указывалось в § 37, это можно делать и при наличии обменного взаимодействия между частицами. Снова обозначим посредством термодинамический потенциал этой системы частиц и, согласно общей формуле (35,3), будем иметь

поскольку энергия частиц в k-м состоянии есть просто . Согласно принципу Паули числа заполнения каждого состояния могут принимать лишь значения 0 или 1. Поэтому получаем

Поскольку среднее число частиц в системе равно производной от потенциала по химическому потенциалу взятой с обратным знаком, то в данном случае искомое среднее число частиц в квантовом состоянии получится как производная

или окончательно

Это и есть функция распределения для идеального газа, подчиняющегося статистике Ферми, или, как говорят коротко, для ферми-газа. Как и следовало, все . При формула (53,2) переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана.

Распределение Ферми нормировано условием

где - полное число частиц в газе. Это равенство определяет в неявном виде химический потенциал как функцию Т и

Термодинамический потенциал газа в целом получается суммированием по всем квантовым состояниям

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление