Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 55. Неравновесные ферми- и бозе-газы

Подобно тому, как это было сделано в § 40, можно вычислить энтропию также и неравновесных ферми- и бозе-газов, а из условия максимальности энтропии снова получить функции распределения Ферми и Бозе.

В случае Ферми в каждом из квантовых состояний может находиться не более одной частицы, но числа не малы, а, вообще говоря, того же порядка величины, что и числа (все обозначения те же, что и в § 40).

Число возможных способов распределения N j одинаковых частиц по состояниям (не более чем по одной в каждом) есть не что иное, как число способов, которыми можно выбрать из состояний, т. е. число сочетаний из элементов по . Таким образом, имеем

Логарифмируя это выражение и воспользовавшись для логарифмов всех трех факториалов формулой (40,3), найдем

(55,2)

Вводя снова средние числа заполнения квантовых состояний , получим окончательно следующее выражение для энтропии неравновесного ферми-газа:

Из условия максимальности этого выражения по уравнениям (40,8) легко найти, что равновесное распределение определяется формулой

т. е., как и следовало, совпадает с распределением Ферми.

Наконец, в случае статистики Бозе в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц, так что статистический вес есть число всех способов, которыми можно распределить частиц по состояниям. Это число равно

Логарифмируя это выражение и пренебрегая при этом единицей по сравнению с очень большими числами , получим

(55,5)

Вводя числа , напишем энтропию неравновесного бозе-газа в виде

Легко убедиться в том, что условие максимальности этого выражения действительно приводит к распределению Бозе.

Обе формулы (55,2) и (55,5) для энтропии в предельном случае переходят, естественно, в больцмановскую формулу (40,4). В больдмановское выражение (40,2) переходят также и статистические веса (55,1) и (55,4) статистик Ферми и Бозе; для этого надо положить

Необходимо, однако, иметь в виду, что такой переход в статистических весах означает пренебрежение в них членами порядка которые сами по себе, вообще говоря, не малы; но при логарифмировании эти члены дают в энтропии поправку малого относительного порядка .

Наконец, выпишем формулу для энтропии бозе-газа в важном предельном случае, когда число частиц в каждом квантовом состоянии велико (так что ). Как известно из квантовой механики, этот случай соответствует классической волновой картине поля. Статистический вес (55,4) приобретает вид

а энтропия

Мы используем эту формулу в дальнейшем, в § 71.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление