Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 62. Вырожденный бозе-газ

При низких температурах свойства бозе-газа не имеют ничего общего со свойствами ферми-газа. Это заранее очевидно из того, что у бозе-газа состоянием наименьшей энергии, в котором газ находится при должно быть состояние с (все частицы в квантовом состоянии с между тем как ферми-газ при абсолютном нуле обладает отличной от нуля энергией.

Если при заданной плотности газа понижать его температуру, то химический потенциал определяемый уравнением (56,5) (с нижним знаком), будет увеличиваться, т. е., будучи отрицательным, уменьшаться по абсолютной величине. Он достигнет значения при температуре, определяемой равенством

Входящий сюда интеграл выражается через функцию (см. примечание на стр. 191); обозначая искомую температуру посредством получим

При уравнение (56,5) не имеет отрицательных решений, между тем как в статистике Бозе химический потенциал должен быть отрицательным при всех температурах.

Это кажущееся противоречие связано с тем, что в данных условиях не законен переход от суммирования (в формуле (54,3)) к интегрированию (в формуле (56,5)). Действительно, при этом переходе первый член суммы (с умножается на , т. е. выпадает из суммы. Между тем при понижении температуры частицы должны скапливаться именно в этом состоянии с наименьшей энергией, пока при туда не попадут все они. Математически это обстоятельство проявляется в том, что в сумме (54,3) при переходе к пределу сумма всех членов ряда, за исключением первого, стремится к конечному пределу (определяемому интегралом (56,5)), а первый член (с стремится к бесконечности. Устремляя не к нулю, а к некоторому малому конечному значению, можно, следовательно, придать указанному первому члену суммы требуемое конечное значение.

Поэтому в действительности при дело будет обстоять следующим образом. Частицы с энергией распределены по формуле (56,4) с :

Полное число частиц с энергиями будет, следовательно,

Остальные

частиц находятся в низшем состоянии, т. е. имеют энергию . Энергия газа при определяется, конечно, только теми частицами, которые имеют ; полагая в (56,7) , имеем

Этот интеграл приводится к (см. примечание на стр. 191) и получается

Отсюда теплоемкость

т. е. теплоемкость пропорциональна . Интегрируя теплоемкость, находим энтропию:

и свободную энергию :

Последний результат вполне естествен, так как при

Для давления имеем

Мы видим, что при давление пропорционально и не зависит вовсе от объема. Это обстоятельство естественное следствие того, что частицы, находящиеся в состоянии с не обладая импульсом, не дают никакого вклада в давление.

В самой точке все перечисленные термодинамические величины непрерывны.

Можно, однако, показать, что производная от теплоемкости по температуре испытывает в этой точке скачок (см. задачу к этому параграфу). Кривая самой теплоемкости как функции от температуры имеет в точке излом, причем в этой точке теплоемкость максимальна (и равна )

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление