Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи

1. Определить коэффициент нелинейности а в уравнении (93,7) для распространения звуковых волн в газе.

Решение. Точные гидродинамические уравнения одномерного движения идеального (без диссипации) газа:

Произведем их разложение с учетом членов второго порядка малости. Для этого полагаем

Члены второго порядка о уравнениях можно упростить, приведя их всех к одинаковому виду — содержащему произведение Для этого замечаем, что для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси (со скоростью с) дифференцирование по t эквивалентно дифференцированию по при этом После всех этих замен получим из (1) и (2) следующие уравнения:

(индекс 0 у постоянных равновесных значений величин опускаем); здесь использовано также равенство

( — удельный объем). Дифференцируя уравнения (3) и (5) соответственно по и по t и вычтя одно из другого, получим

С той же точностью заменяем в левой стороне этого уравнения Наконец, вычеркнув с обоих сторон дифференцирования по и сравнив получившееся уравнение с (93,7), найдем для значение (93,8).

Уравнение для скорости v можно получить непосредственно из (93,7), не повторяя заново вычислений, подобных произведенным выше. Действительно, сумма членов первого порядка в левой стороне (93,7) содержит оператор который надо рассматривать как малый первого порядка: он обращает в ноль функцию в ее линейном приближении.

Поэтому мы получим уравнение для функции в требуемом приближении, просто заменив в (93,7) согласно линейному соотношению :

где

Величина безразмерна; для политропного газа .

2. Путем нелинейной подстановки привести уравнение Бюргерса (93,7а) к виду линейного уравнения теплопроводности (В. Hopf, 1950).

Решение. Подстановкой

уравнение (93,7а) приводится к виду откуда

откуда

где посредством обозначена произвольная функция t. Переобозначением (не меняющим искомой функции ) это уравнение преобразуется к требуемому виду

Решение этого уравнения с начальным условием дается формулой (51,3):

Начальная же функция связана с начальным значением искомой функции равенством

(выбор нижнего предела в интеграле произволен).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление