Научная библиотека
Клуб читателей
Вычисления в дробях
sc_lib@list.ru

Поиск в библиотеке:
Книжная полка
популярных научных изданий
Science Ask
Логин:
Пароль:
Регистрация
<< Предыдущий параграфСледующий параграф >>

< Назад
Далее >

Для отображения сканов страниц необходимо включить JavaScript в настройках браузера.

< Назад
Далее >
<< Предыдущий параграфСледующий параграф >>

Макеты страниц

§ 99. Одномерное автомодельное движение

Важную категорию одномерных нестационарных движений сжимаемого газа составляют течения, происходящие в условиях, характеризующихся какими-либо параметрами скорости, но не длины. Простейший пример такого движения представляет движение газа в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой, возникающее, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью.

Наряду с параметром скорости такое течение определяется ещё и параметрами, дающими, скажем, давление и плотность газа в начальный момент времени. Однако из всех этих параметров нельзя составить никаких комбинаций с размерностью длины или времени. Отсюда следует, что распределения всех величин могут зависеть от координаты и времени t только в виде их отношения имеющего размерность скорости. Другими словами, эти распределения в различные моменты времени будут подобны друг другу, отличаясь лишь своим масштабом вдоль оси увеличивающимся пропорционально времени. Можно сказать, что если измерять длины в единицах, растущих пропорционально t, то картина движения вообще не будет меняться — движение автомодельно.

Уравнение сохранения энтропии для движения, зависящего только от одной координаты гласит:

Считая, что все величины зависят только от переменной и замечая, что при этом

будем иметь означает дифференцирование по .

Отсюда т. е. ; таким образом, автомодельное одномерное движение не только адиабатично, но и изэнтропично. Аналогично из у- и -компонент уравнения Эйлера.

найдем, что постоянны; не ограничивая общности, мы можем положить их в дальнейшем равными нулю.

Далее, уравнение непрерывности и -компонента уравнения Эйлера имеют вид

(здесь и ниже пишем просто v вместо . После введения переменной g они примут вид

(Имея в виду постоянство энтропии, пишем во втором уравнении

Эти уравнения имеют, прежде всего, тривиальное решение — однородный поток с постоянной ско ростью. Для нахождения же нетривиального решения исключаем из уравнений и получаем равенство откуда . Мы будем писать это соотношение со знаком плюс:

(выбор знака означает, что мы принимаем определенное условие для выбора положительного направления оси смысл которого выяснится ниже). Наконец, подставляя в (99,3), получим или . Скорость звука является функцией термодинамического состояния газа; выбрав в качестве основных термодинамических величин энтропию s и плотность , мы можем представить скорость звука в виде функции плотности при заданном постоянном значении энтропий. Подразумевая под с такую функцию, пишем на основании полученного равенства

Эту формулу можно написать также и в виде

где не предрешается выбор независимого переменного.

Формулы (99,5-6) определяют искомое решение уравнений движения. Если функция известна, то по формуле (99,6) вычисляем скорость v как функцию плотности. Уравнение (99,5) определит тогда в неявном виде зависимость плотности от после чего определится зависимость также и всех остальных величин от .

Выясним некоторые общие свойства полученного решения. Дифференцируя уравнение (99,5) по получаем:

Для производной от с имеем с помощью (99,6)

Но

дифференцируя это выражение, получим:

Таким образом:

Из (99,8) следует поэтому, что при будет Замечая, что эаключаем что и наконец, имеем — так что таким образом, имеем неравенства:

Смысл этих неравенств становится более ясным, если следить не за изменением величин вдоль оси (при заданном t), а за их изменением с течением времени у данного передвигающегося в пространстве элемента газа. Эти изменения определяются полными производными по времени; так, для плотности имеем, воспользовавшись уравнением непрерывности:

Согласно третьему из неравенств (99,11) эта величина отрицательна; вместе с ней, разумеется, отрицательна и производная

(99,12)

Аналогичным образом (используя уравнение Эйлера (99,2)) можно убедиться, что ; это, однако, не означает, что абсолютная величина скорости падает со временем, так как у может быть отрицательной.

Неравенства (99,12) показывают, что плотность и давление каждого элемента газа падают по мере его передвижения в пространстве. Другими словами, передвижение газа сопровождается его монотонным разрежением. Поэтому рассматриваемое движение можно назвать нестационарной волной разрежения.

Волна разрежения может простираться лишь на конечное расстояние вдоль оси это видно уже из того, что формула (99,5) привела бы при к бессмысленному результату — бесконечной скорости.

Применим формулу (99,5) к плоскости, ограничивающей занимаемую волной разрежения область пространства. При этом будет представлять собой скорость движения этой границы относительно выбранной неподвижной системы координат. Скорость же ее относительно самого газа есть разность и согласно (99,5) равна как раз местной скорости звука. Это значит, что границы волны разрежения представляют собой слабые разрывы. Картина автомодельного движения в различных конкретных случаях складывается, следовательно, из волн разрежения и областей постоянного течения, разделенных между собой поверхностями слабых разрывов (кроме того, конечно, могут иметься и различные области постоянного течения, разделенные между собой ударными волнами).

Сделанный нами выбор знака в формуле (99,5) соответствует, как теперь видно, тому, что эти слабые разрывы предполагаются движущимися относительно газа в положительном направлении оси . Неравенства (99,11) связаны именно с таким выбором; неравенства же (99,12), разумеется, от выбора направления оси вообще не зависят.

Обычно приходится иметь дело с такой постановкой конкретных задач, при которой волна разрежения с одной стороны граничит с областью неподвижного газа.

Пусть эта область на рис. 74) находится справа от волны разрежения. Область II есть волна разрежения, а III - газ, движущийся с постоянной скоростью; стрелками на рисунке показаны направления движения газа и перемещения ограничивающих волну разрежения слабых разрывов (разрыв а движется непременно в сторону покоящегося газа, а разрыв b может двигаться в обоих направлениях в зависимости от величины достигаемой в волне разрежения скорости; ср. задачу 2). Выпишем в явном виде соотношения между различными величинами в такой волне разрежения, предполагая газ политропным. При адиабатическом процессе . Поскольку скорость звука пропорциональна то можно написать это соотношение в виде

(99,13)

Рис. 74

Подставляя это выражение в интеграл (99,6), получаем:

постоянная интегрирования выбрана так, что при (индексом нуль отличаем значения величин в точке, в которой газ покоится). Будем выражать все величины через и, причем надо иметь в виду, что при условленном расположении областей скорость газа направлена в отрицательную сторону оси так что Таким образом:

(99,14)

чем определяется местная скорость звука через скорость газа. Подставляя в (99,13), находим для плотности:

и аналогично для давления

Наконец, подставляя (99,14) в формулу (99,5), получаем:

чем определяется зависимость v от

Величина с не может быть, по самому своему существу, отрицательной.

Поэтому из формулы (99,14) можно сделать существенное заключение, что скорость должна удовлетворять неравенству

(99,18)

при достижении скоростью этого предельного значения плотность газа (а также рис) обращается в нуль. Таким образом, первоначально покоившийся газ при нестационарном расширении в волне разрежения может ускориться лишь до скорости, не превышающей

Мы уже упомянули в начале параграфа простой пример автомодельного движения, возникающего в цилиндрической трубе, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью. Если поршень выдвигается из трубы, он создает за собой разрежение, и возникает описанная выше волна разрежения. Если же поршень вдвигается в трубу, он производит перед собой сжатие газа, а переход к более низкому первоначальному давлению может произойти лишь в ударной волне, которая и возникает перед поршнем, распространяясь вперед по трубе (см. задачи к этому параграфу).

<< Предыдущий параграфСледующий параграф >>

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ «МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД»
ГЛАВА I. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ
§ 1. Уравнение непрерывности
§ 2. Уравнение Эйлера
§ 3. Гидростатика
§ 4. Условие отсутствия конвекции
§ 5. Уравнение Бернулли
§ 6. Поток энергии
§ 7. Поток импульса
§ 8. Сохранение циркуляции скорости
§ 9. Потенциальное движение
§ 10. Несжимаемая жидкость
Задачи

§ 11. Сила сопротивления при потенциальном обтекании
Задачи
§ 12. Гравитационные волны
Задачи
§ 13. Внутренние волны в несжимаемой жидкости
§ 14. Волны во вращающейся жидкости
Задачи
ГЛАВА II. ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
§ 15. Уравнения движения вязкой жидкости
§ 16. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости
§ 17. Течение по трубе
Задачи
§ 18. Движение жидкости между вращающимися цилиндрами
§ 19. Закон подобия
§ 20. Течение при малых числах Рейнольдса
Задачи
§ 21. Ламинарный след
§ 22. Вязкость суспензий
§ 23. Точные решения уравнений движения вязкой жидкости
§ 24. Колебательное движение в вязкой жидкости
Задачи
§ 25. Затухание гравитационных волн
Задачи
ГЛАВА III. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
§ 26. Устойчивость стационарного движения жидкости
§ 27. Устойчивость вращательного движения жидкости
§ 28. Устойчивость движения по трубе
§ 29. Неустойчивость тангенциальных разрывов
§ 30. Квазипериодическое движение и синхронизация частот
§ 31. Странный аттрактор
§ 32. Переход к турбулентности путем удвоения периодов
§ 33. Развитая турбулентность
§ 34. Корреляционные функции скоростей
Задача
§ 35. Турбулентная область и явление отрыва
§ 36. Турбулентная струя
Задачи
§ 37. Турбулентный след
§ 38. Теорема Жуковского
Задачи
ГЛАВА IV. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ
§ 39. Ламинарный пограничный слой
Задачи
§ 40. Движение вблизи линии отрыва
Задача
§ 41. Устойчивость движения в ламинарном пограничном слое
§ 42. Логарифмический профиль скоростей
§ 43. Турбулентное течение в трубах
§ 44. Турбулентный пограничный слой
§ 45. Кризис сопротивления
§ 46. Хорошо обтекаемые тела
§ 47. Индуктивное сопротивление
§ 48. Подъёмная сила тонкого крыла
ГЛАВА V. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ
§ 49. Общее уравнение переноса тепла
§ 50. Теплопроводность в несжимаемой жидкости
Задачи
§ 51. Теплопроводность в неограниченной среде
Задачи
§ 52. Теплопроводность в ограниченной среде
Задачи
§ 53. Закон подобия для теплопередачи
§ 54. Теплопередача в пограничном слое
Задачи
§ 55. Нагревание тела в движущейся жидкости
Задачи
§ 56. Свободная конвекция
Задачи
§ 57. Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости
Задачи
ГЛАВА VI. ДИФФУЗИЯ
§ 58. Уравнения гидродинамики для жидкой смеси
§ 59. Коэффициенты диффузии и термодиффузии
§ 60. Диффузия взвешенных в жидкости частиц
Задачи
ГЛАВА VII. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 61. Формула Лапласа
Задачи
§ 62. Капиллярные волны
Задачи
§ 63. Влияние адсорбированных пленок на движение жидкости
Задачи
ГЛАВА VIII. ЗВУК
§ 64. Звуковые волны
Задачи
§ 65. Энергия и импульс звуковых волн
§ 66. Отражение и преломление звуковых волн
§ 67. Геометрическая акустика
§ 68. Распространение звука в движущейся среде
Задачи
§ 69. Собственные колебания
Задачи
§ 70. Сферические волны
§ 71. Цилиндрические волны
§ 72. Общее решение волнового уравнения
§ 73. Боковая волна
§ 74. Излучение звука
Задачи
§ 75. Возбуждение звука турбулентностью
§ 76. Принцип взаимности
§ 77. Распространение звука по трубке
Задачи
§ 78. Рассеяние звука
Задачи
§ 79. Поглощение звука
Задачи
§ 80. Акустическое течение
§ 81. Вторая вязкость
ГЛАВА IX. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
§ 82. Распространение возмущений в потоке сжимаемого газа
§ 83. Стационарный поток сжимаемого газа
§ 84. Поверхности разрыва
Задачи
§ 85. Ударная адиабата
§ 86. Ударные волны слабой интенсивности
§ 87. Направление изменения величин в ударной волне
§ 88. Эволюционность ударных волн
§ 89. Ударные волны в политропном газе
Задачи
§ 90. Гофрировочная неустойчивость ударных волн
Задачи
§ 91. Распространение ударной волны по трубе
§ 92. Косая ударная волна
§ 93. Ширина ударных волн
Задачи
§ 94. Ударные волны в релаксирующей среде
§ 95. Изотермический скачок
§ 96. Слабые разрывы
ГЛАВА X. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 97. Истечение газа через сопло
§ 98. Вязкое движение сжимаемого газа по трубе
§ 99. Одномерное автомодельное движение
Задачи
§ 100. Разрывы в начальных условиях
Задачи
§ 101. Одномерные бегущие волны
Задачи
§ 102. Образование разрывов в звуковой волне
Задачи
§ 103. Характеристики
§ 104. Инварианты Римана
§ 105. Произвольное одномерное движение сжимаемого газа
Задачи
§ 106. Задача о сильном взрыве
§ 107. Сходящаяся сферическая ударная волна
§ 108. Теория «мелкой воды»
ГЛАВА XI. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА
§ 109. Волна разрежения
Задачи
§ 110. Типы пересечений поверхностей разрыва
§ 111. Пересечение ударных волн с твердой поверхностью
§ 112. Сверхзвуковое обтекание угла
Задачи
§ 113. Обтекание конического острия
ГЛАВА XII. ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 114. Потенциальное движение сжимаемого газа
§ 115. Стационарные простые волны
§ 116. Уравнение Чаплыгина (общая задача о двухмерном стационарном движении сжимаемого газа)
§ 117. Характеристики плоского стационарного течения
§ 118. Уравнение Эйлера — Трикоми. Переход через звуковую скорость
§ 119. Решения уравнения Эйлера — Трикоми вблизи неособых точек звуковой поверхности
§ 120. Обтекание со звуковой скоростью
§ 121. Отражение слабого разрыва от звуковой линии
ГЛАВА XIII. ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ
§ 122. Образование ударных воли при сверхзвуковом обтекании тел
§ 123. Сверхзвуковое обтекание заостренного тела
Задача
§ 124. Дозвуковое обтекание тонкого крыла
§ 125. Сверхзвуковое обтекание крыла
§ 126. Околозвуковой закон подобия
§ 127. Гиперзвуковой закон подобия
Задача
ГЛАВА XIV. ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ
§ 128. Медленное горение
Задачи
§ 129. Детонация
§ 130. Распространение детонационной волны
Задачи
§ 131. Соотношение между различными режимами горения
§ 132. Конденсационные скачки
ГЛАВА XV. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА
§ 133. Тензор энергии-импульса жидкости
§ 134. Релятивистские гидродинамические уравнения
Задачи
§ 135. Ударные волны в релятивистской гидродинамике
§ 136. Релятивистские уравнения движения вязкой и теплопроводной среды
ГЛАВА XVI. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
§ 137. Основные свойства сверхтекучей жидкости
§ 138. Термомеханический эффект
§ 139. Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости
§ 140. Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости
§ 141. Распространение звука в сверхтекучей жидкости
Задачи

© ScAsk
Избранные материалы