Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи

1. Определить скорость распространения гравитационных волн на неограниченной поверхности жидкости, глубина которой равна

Решение. На дне жидкости нормальная составляющая скорости должна быть равна нулю, т. е.

Из этого условия определяется отношение между постоянными А и В в общем решении

В результате находим:

Из предельного условия (12,5) находим соотношение между k и со в виде

Скорость распространения волны

При получается результат (12,10), а при — результат (12,20).

2. Определить связь между частотой и длиной волны для гравитационных волн на поверхности раздела двух жидкостей, причем верхняя жидкость ограничена сверху, а нижняя — снизу горизонтальными неподвижными плоскостями. Плотность и глубина слоя нижней жидкости , а верхней (причем ).

Решение. Плоскость у выбираем по плоскости раздела обеих жидкостей в равновесии. Ищем решение в обеих жидкостях соответственно в виде

(так, чтобы удовлетворялись условия на верхней и нижней границах, — см. решение задачи 1). На поверхности раздела давление должно быть непрерывным; согласно (12,2) это приводит к условию

Кроме того, скорости обеих жидкостей на поверхности раздела должны быть одинаковыми. Это приводит к условию

(при ) или

Далее, и, подставляя сюда (2), получаем:

Подставляя (1) в (3) и (4), получим два однородных линейных уравнения для А и В, из условия совместности которых найдем:

При (обе жидкости очень глубоки):

а при (длинные волны):

Наконец, если :

3. Определить связь между частотой и длиной волны для гравитационных волн, распространяющихся одновременно по поверхности раздела и верхней поверхности двух слоев жидкости, из которых нижняя (плотность ) бесконечно глубока, а верхняя (плотность ) имеет толщину и свободную верхнюю поверхность.

Решение. Выбираем плоскость у в плоскости раздела обеих жидкостей в равновесии. В нижней и верхней жидкостях ищем решение соответственно в виде

На поверхности раздела обеих жидкостей (т. е. при имеют место условия (см. задачу 2):

а на верхней свободной границе (т. е. при ):

Первое из уравнений (2) при подстановке (1) дает А — С — В, а два остальных условия дают два уравнения для В и С, из условия совместности которых получаем квадратное уравнение для с корнями:

эти корни соответствуют волнам, распространяющимся независимо по поверхности раздела и по верхней поверхности жидкости.

4. Определить собственные частоты колебаний (см. § 69) жидкости глубины А в прямоугольном бассейне ширины а и длины b.

Решение. Оси х и у выбираем по двум боковым сторонам бассейна. Ищем решение в виде стоячей волны:

Для получаем уравнение

а условие на свободной поверхности приводят, как и в задаче 1, к соотношению

Решение уравнения для берем в виде

На боковых сторонах сосуда должны выполняться условия:

Отсюда находим:

где — целые числа. Поэтому возможные значения k равны

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление