Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости

Наличие вязкости приводит к диссипации энергии, переходящей в конце концов в тепло. Вычисление диссипируемой энергии в особенности просто для несжимаемой жидкости.

Полная кинетическая энергия несжимаемой жидкости равна

Вычислим производную от этой энергии по времени. Для этого пишем:

и подставляем для производной ее выражение согласно уравнению Навье — Стокса:

В результате получаем:

Здесь посредством обозначен вектор с компонентами Замечая, что в несжимаемой жидкости можно написать первый член справа в виде дивергенции:

Выражение, стоящее под знаком представляет собой не что иное, как плотность потока энергии в жидкости. Первый член в квадратных скобках есть поток энергии, связанный с простым переносом массы жидкости при ее движении, совпадающий с потоком энергии в идеальной жидкости (см. (10,5)). Второй же член есть поток энергии, связанный с процессами внутреннего трения. Действительно, наличие вязкости приводит к появлению потока импульса ; перенос же импульса всегда связан с переносом энергии, причем поток энергии получается, очевидно, из потока импульса умножением на скорость.

Если проинтегрировать (16,1) по некоторому объему V, то получится:

Первый член справа определяет изменение кинетической энергии жидкости в объеме V благодаря наличию потока энергии через поверхность этого объема. Второй же член (взятый с обратным знаком) представляет собой, следовательно, уменьшение кинетической энергии в единицу времени, обусловленное диссипацией.

Если распространить интегрирование по всему объему жидкости, то интеграл по поверхности исчезает (на бесконечности скорость обращается в нуль), и мы получим диссипируемую в единицу времени во ссей жидкости энергию в виде

(последнее равенство следует из симметричности тензора В несжимаемой жидкости тензор определяется выражением (15,8). Таким образом, находим окончательно следующую формулу для диссипации энергии в несжимаемой жидкости:

Диссипация приводит к уменьшению механической энергии, т. е. должно быть . С другой стороны, интеграл в (16,3) является величиной всегда положительной. Поэтому мы можем заключить, что коэффициент впзкости положителен.

Задача

Для потеницального движения преобразовать интеграл (16,3) в интеграл по поверхности, ограничивающей область движения.

Решение. Положив и произведя однократное интегрирование по частям, получим:

или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление