Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 30. Квазипериодическое движение и синхронизация частот

В последующем изложении (§§ 30—32) будет удобным пользоваться определенными геометрическими образами. Для этого введем математическое представление о пространстве состояний жидкости, каждая точка которого отвечает определенному распределению (полю) скоростей в ней. Состояниям в близкие моменты времени соответствуют при этом близкие точки.

Образом стационарного движения служит точка, а образом периодического движения — замкнутая линия (траектория) в пространстве состояний; о них говорят соответственно как. о предельной точке или предельном цикле. Если эти движения устойчивы, то это значит, что соседние траектории, описывающие процесс установления движения, стремятся (при ) к предельной точке или предельному циклу.

Предельный цикл (или точка) имеет в пространстве состояний определенную область притяжения-, начинающиеся в этой области траектории в конце концов выходят на цикл. В этой связи о предельном цикле говорят как об аттракторе. Подчеркнем, что для движения жидкости в заданном объеме с определенными граничными условиями (и при заданном значении R) аттрактор может быть не единствен. Возможны ситуации, когда в пространстве состояний существуют различные аттракторы, каждый из которых имеет свою область притяжения. Другими словами, при может оказаться более чем один устойчивый режим движения и различные режимы осуществляются в зависимости от способа достижения данного значения R. Подчеркнем, что эти различные устойчивые режимы являются решениями нелинейной системы уравнений движения.

Обратимся к изучению явлений, возникающих при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, после достижения им критического значения и установления рассматривавшегося в § 26 периодического течения. По мере увеличения R наступает в конце концов момент, когда становится неустойчивым и это периодическое движение. Исследование этой неустойчивости должно, в принципе, производиться аналогично изложенному в § 26 способу определения неустойчивости исходного стационарного движения. Роль невозмущенного движения играет теперь периодическое движение (с частотой а в уравнения движения подставляется , где малая поправка. Для получается снова линейное уравнение, но его коэффициенты являются теперь функциями не только координат, но и времени, причем по времени эти коэффициенты представляют собой периодические функции с периодом Решение такого уравнения должно разыскиваться в виде

где — периодическая функция времени (с тем же периодом ). Неустойчивость наступает снова при появлении частоты у которой мнимая часть а вещественная часть определяет новую появляющуюся частоту.

За период возмущение (30,1) меняется в за раз. Этот множитель называют мультипликатором периодического движения; он является удобной характеристикой усиления или затухания возмущений этого движения.

Периодическому движению непрерывной среды (жидкости) соответствует бесконечное множество мультипликаторов, отвечающих бесконечному числу возможных независимых возмущений. Потеря им устойчивости происходит при числе , при котором один или более мультипликаторов по модулю становятся равными 1, т. е. в комплексной плоскости значения пересекают единичную окружность. Ввиду вещественности уравнений проходить через эту окружность мультипликаторы могут только комплексно-сопряженными парами, или поодиночке, оставаясь вещественными, т. е. в точках или —1. Потеря устойчивости периодическим движением сопровождается определенной качественной перестройкой поведения траекторий в пространстве состояний в окрестности ставшего неустойчивым предельного цикла или, как говорят, своей локальной бифуркацией. Характер бифуркации в значительной степени определяется именно тем, в каких точках единичной окружности мультипликаторы ее пересекают.

Рис. 18

Рассмотрим бифуркацию при пересечении единичной окружности парой комплексно-сопряженных мультипликаторов вида где а — иррациональное число. Это приводит к появлению вторичного течения с новой независимой частотой , т. е. в результате возникает некоторое квазипериодическое движение, характеризующееся двумя несоизмеримыми частотами. Геометрическим образом этого движения в пространстве состояний служит траектория в виде незамкнутой намотки на двумерном торе, причем ставший неустойчивым предельный цикл служит образующей тора; частота соответствует вращению по образующей тора, частота — вращению на торе (рис. 18). Подобно тому, как после появления первого периодического движения течение обладало одной степенью свободы, теперь две величины (фазы) являются произвольными, т. е. движение обладает двумя степенями свободы. Потеря устойчивости периодическим движением, сопровождающаяся «рождением» двумерного тора, типична для гидродинамики.

Обсудим гипотетическую картину усложнения течения, возникшего в результате такой бифуркации, при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, . Естественно было бы предположить, что при последующем увеличении R будут последовательно появляться все новые периоды.

На языке геометрических образов это означает потерю устойчивости двумерным тором с возникновением в его окрестности трехмерного тора, затем в результате очередной бифуркации ему на смену придет четырехмерный тор и т. д. Интервалы между числами Рейнольдса, соответствующими появлению новых частот, быстро падают, а появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Таким образом, движение быстро приобретает сложный и запутанный характер; его называют турбулентным в отличие от ламинарного, правильного течения, при котором жидкость движется как бы слоями, обладающими различными скоростями.

Полагая сейчас, что такой путь (или, как. говорят, сценарий) возникновения турбулентности действительно возможен, напишем общий вид функции зависимость которой от времени определяется некоторым числом N различных частот Ее можно рассматривать как функцию N различных фаз (и от координат), причем по каждой из них она периодична с периодом Такая функция может быть представлена в виде ряда

представляющего собой обобщение (26,13) (суммирование по всем целым числам ). Описываемое такой формулой движение обладает N степенями свободы — в него входят N произвольных начальных фаз

Состояния, фазы которых отличаются только на целое кратное физически тождественны. Другими словами, все существенно различные значения каждой из фаз лежат в интервале Рассмотрим какую-нибудь пару фаз Пусть в некоторый момент времени фаза имеет значение а. Тогда «одинаковые» с значения фаза будет иметь и во все моменты времени

где s — любое целое число. Фаза в эти моменты имеет значения

Но различные частоты несоизмеримы друг с другом, так что — иррациональное число. Приводя каждый раз посредством вычитания должного целого кратного от значение к интервалу между 0 и мы получим поэтому, при пробегании числом s значений от 0 до для значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу в этом интервале. Другими словами, в течение достаточно большого промежутка времени одновременно пройдут сколь угодно близко к любой паре наперед заданных значений. То же самое относится и ко всем фазам. Таким образом, в рассматриваемой мидели турбулентности в течение достаточно долгого времени жидкость проходит через состояния, сколь угодно близкие к любому наперед заданному состоянию, определенному любым возможным набором одновременных значений фаз Время возврата, однако, очень быстро растет с увеличением N и становится столь большим, что фактически никакого следа какой-либо периодичности не остается

Подчеркнем теперь, что рассмотренный путь возникновения турбулентности базируется, по существу, на линейных представлениях. Действительно, фактически предполагалось, что при появлении в результате развития вторичных неустойчивостей новых периодических решений уже имевшиеся периодические решения не только не исчезают, но и почти не меняются. В данной модели турбулентное движение есть просто суперпозиция большого числа таких неизменяющихся решений. В общем же случае, однако, характер решений при увеличении числа Рейнольдса и потери ими устойчивости изменяется. Возмущения взаимодействуют друг с другом, причем это может привести как к упрощению движения, так и к его усложнению. Проиллюстрируем первую возможность.

Ограничимся простейшим случаем: будем полагать, что возмущенное решение содержит всего лишь две независимые частоты. Как уже говорилось, геометрическим образом такого течения является незамкнутая намотка на двумерном торе. Возмущение на частоте возникшее при , естественно считать в окрестности числа (при котором возникает возмущение частоты ) более интенсивным и поэтому полагать его неизменным при относительно небольших изменениях числа R в этой окрестности.

Имея это в виду, для описания эволюции возмущения с частотой на фоне периодического движения частоты введем новую переменную

модуль -кратчайшее расстояние до образующей тора (ставшего неустойчивым предельного цикла частоты ), т. е. относительная амплитуда вторичного периодического течения, а — его фаза. Рассмотрим поведение в дискретныё моменты времени, кратные периоду За время одного периода возмущение частоты меняется в раз, где

— его мультипликатор; по истечении целого числа таких периодов функция умножится на Мы считаем надкритичность малой; тогда инкремент возрастания возмущения тоже мал и, соответственно, разность хоть и положительна, но мала, так что за период возмущение меняется по модулю незначительно; фаза же меняется просто пропорционально т. Имея все это в виду, можно перейти к рассмотрению дискретной переменной как непрерывной и описывать ход изменения функции дифференциальным по уравнением.

Понятие о мультипликаторе относится к самым малым временам после наступления неустойчивости, когда возмущение еще описывается линейными уравнениями. В этой области функция меняется, сргласно сказанному, как а ее производная

причем для малых надкритичностей:

Это выражение — первый член разложения по степеням и при увеличении модуля (но пока он все же остается малым) надо учесть следующий член. Член, содержащий тот же осциллирующий множитель член третьего порядка: Таким образом, приходим к уравнению

где (как и ) — комплексный параметр, зависящий от R, причем аналогичные рассуждения в связи с уравнением Вещественная часть этого уравнения сразу определяет стационарное значение модуля:

Мнимая же часть дает уравнение для фазы после установления стационарного значения модуля, оно принимает вид

Согласно этому уравнению фаза вращается с постоянной скоростью. Это свойство, однако, связано лишь с рассматриваемым приближением; с ростом надкритичности равномерность нарушается и скорость вращения по тору становится сама функцией Чтобы учесть это, добавим в правую сторону уравнения (30,6) малое возмущение поскольку все физически различные значения заключены в одном интервале от 0 до функция периодическая с периодом . Далее, аппроксимируем иррациональное отношение рациональной дробью (это можно сделать со сколь угодной степенью точности) , где — целые числа. Тогда уравнение принимает вид

Будем теперь рассматривать значения фазы лишь в моменты времени, кратные , т. е. при значениях переменной , где — целое число. Первый член в правой части (30,7) приводит за время к изменению фазы на т. е. на целое, кратное которое можно просто опустить. После этого вся правая часть уравнения оказывается малой величиной, и это позволяет описывать изменение функции дифференциальным уравнением по непрерывной переменной :

(на одном шаге изменения дискретной переменной функция меняется незначительно).

В общем случае уравнение (30,8) имеет стационарные решения определяющиеся обращением в ноль правой стороны уравнения. Но неизменность фазы в моменты времени, кратные означает, что на торе существует предельный цикл — траектория через оборотов замыкается. Ввиду периодичности функции такие решения появляются парами (в простейшем случае — одна пара): одно решение на возрастающем, а другое — на убывающем участках функции Из этих двух решений устойчиво только последнее, для которого вблизи точки уравнение (30,8) имеет вид:

(с коэффициентом ) и действительно имеет решение, стремящееся к второе же решение неустойчиво (для него

Рождение устойчивого предельного цикла на торе означает синхронизацию колебаний — исчезновение квазипериодического и установление нового периодического режима. Это явление, которое в системе со многими степенями свободы может произойти многими способами, препятствует возникновению режима, представляющего собой суперпозицию движений с большим числом несоизмеримых частот. В этом смысле можно сказать, что вероятность реального осуществления именно сценария Ландау — Хопфа очень мала (этим не исключается, конечно, в частных случаях возможность возникновения нескольких несоизмеримых частот прежде, чем произойдет их синхронизация).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление