Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 48. Подъёмная сила тонкого крыла

Задача о вычислении подъемной силы крыла сводится по теореме Жуковского к задаче о вычислении циркуляции Г. Эта задача может быть решена в общем виде для хорошо обтекаемого тонкого крыла бесконечного размаха, с постоянным вдоль размаха профилем сечения (излагаемый ниже метод решения принадлежит М. В. Келдышу и Л. И. Седову, 1939).

Рис. 37

Пусть — уравнения нижней и верхней частей контура сечения (рис. 37). Мы предполагаем, что этот профиль тонкий, слабо изогнутый и наклонен к направлению обтекания (оси ) под малым углом атаки; другими словами, малы как сами так и производные т. е. нормаль к контуру направлена везде почти параллельно оси у.

При этих условиях можно считать возмущение v скорости жидкости, вызываемое присутствием крыла, везде (кроме лишь малой области вблизи передней закругленной кромки крыла) малым по сравнению со скоростью натекания U. Граничное условие на поверхности крыла гласит при . В силу сделанных предположений можно потребовать его выполнения не при а при Тогда на отрезке оси абсцисс от до должно быть:

Имея в виду применить методы теории функций комплексного переменного, вводим комплексную скорость § 10), представляющую собой аналитическую функцию переменной В данном случае на отрезке (0, а) оси абсцисс эта функция должна удовлетворять условию

Для решения поставленной задачи прежде всего представим искомое поле скоростей в виде суммы двух распределений, обладающих следующими свойствами симметрии:

Эти свойства (для каждого из распределений и в отдельности) не противоречат уравнениям непрерывности и потенциальности, и ввиду линейности задачи эти распределения можно искать независимо друг от друга.

Соответственно представится в виде суммы также и комплексная скорость, причем граничные условия на отрезке (0, а) для обоих членов суммы гласят:

Функция может быть определена с помощью формулы Коши:

где интегрирование производится в плоскости комплексного переменного по окружности L малого радиуса с центром в точке (рис. 38).

Контур L можно заменить окружностью С бесконечно большого радиуса и обходимым по часовой стрелке контуром С; последний может быть стянут к дважды пробегаемому отрезку (0, а). Интеграл по С обращается в нуль, так как исчезает на бесконечности. Интеграл же. по С дает следующее выражение:

Рис. 38

При этом мы воспользовались предельными значениями (48,4) мнимой части на отрезке (0, а) и тем, что согласно условиям симметрии (48,3) вещественная часть на этом отрезке не испытывает скачка.

Для нахождения же функции надо применить формулу Коши не к самой этой функции, а к произведению где

причем при корень берется со знаком плюс. На отрезке (0, а) вещественной оси функция чисто мнимая и имеет разрыв:

Ввиду этих свойств функции ясно, что мнимая часть произведения будет иметь на отрезке (0, а) разрыв, а вещественная часть будет непрерывна, подобно тому как это имеет место у функции Поэтому в точности аналогично выводу формулы (48,5) получим:

Собирая полученные выражения, найдем окончательно следующую формулу, определяющую распределение скоростей вокруг тонкого крыла:

Вблизи закругленной передней кромки (т. е. при ) это выражение, вообще говоря, обращается в бесконечность, что связано с непригодностью в этой области рассматриваемого приближения. Вблизи же задней заостренной кромки (т. е. при ) первый член в (48,6) конечен; второй же член хотя, вообще говоря, и обращается в бесконечность, но лишь логарифмическим образом. Эта логарифмическая особенность связана с характером принятого здесь приближения и исчезает при более точном рассмотрении; никакой же степенной расходимости, в согласии с условием Чаплыгина, на задней кромке не оказывается. Выполнение этого условия достигнуто соответствующим выбором использованной выше функции

Формула (48,6) позволяет определить циркуляцию скорости Г вокруг профиля крыла. Согласно общему правилу (см. § 10) Г определяется вычетом функции относительно точки являющейся ее простым полюсом. Искомый вычет легко определить как коэффициент при в разложении функции по степеням вблизи бесконечно удаленной точки:

причем для Г получается простая формула

Отметим, что сюда входит только сумма функций Можно сказать, что подъемная сила не изменится, если заменить тонкое крыло изогнутой пластинкой, форма которой задается функцией

Так, например, для крыла в виде плоской пластинки бесконечного размаха, наклоненной под малым углом атаки а, имеем и формула (48,7) дает Коэффициент подъемной силы такого крыла равен

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление