Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи

1. В слое вещества между двумя параллельными плоскостями распределены источники тепла с объемной интенсивностью (50,11). Граничные плоскости поддерживаются при постоянной температуре. Найти условие, определяющее возможность установления стационарного распределения температуры (Д. А. Франк-Каменецкий, 1939) .

Решение. Уравнение стационарной теплопроводности в данном случае гласит:

с граничными условиями при и ( — ширина слоя). Вводим безразмерные переменные тогда

Интегрируя это уравнение (умножив его на ) один раз, найдем;

где — постоянная. Последняя представляет собой, очевидно, максимальное значение , которое ввиду симметрии задачи должно достигаться посередине слоя, т. е. при Поэтому вторичное интегрирование с учетом условия при дает

Произведя интегрирование, получим

Определяемая этим равенством функция имеет максимум при определенном значении если то удовлетворяющего граничным условиям решения не существует. Численные значения:

2. В неподвижную жидкость, в которой поддерживается постоянный градиент температуры, погружен шар. Определить возникающее стационарное распределение температуры в жидкости и шаре.

Решение. Распределение температуры определяется во всем пространстве уравнением с граничными условиями

при — радиус шара; величины с индексами 1 и 2 относятся соответственно к шару и жидкости) и условием на бесконечности (А — заданный градиент температуры). В силу симметрии условий задачи А есть единственный вектор, которым должно определяться искомое решение. Такими решениями уравнения Лапласа являются . Замечая, кроме того, что решение должно оставаться конечным в центре шара, ищем температуры в виде

постоянные определяются из условий при и в результате находим:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление