Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Уравнение Бернулли

Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае стационарного течения жидкости. Под стационарным (или установившимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остается постоянной во времени. Другими словами, v является функцией одних только координат, так что . Уравнение (2,10) сводится теперь к равенству

Введем понятие о линиях тока как линиях, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени; они определяются системой дифференциальных уравнений

При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости. При нестационарном течении такое совпадение, разумеется, не имеет места: касательные к линии тока дают направления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определенный момент времени, в то время как касательные к траектории дают направления скорости определенных частиц в последовательные моменты времени.

Умножим уравнение (5,1) на единичный вектор касательной к линии тока в каждой ее точке; этот единичный вектор обозначим 1. Проекция градиента на некоторое направление равна, как известно, производной, взятой по этому направлению.

Поэтому искомая проекция от есть Что касается вектора , то он перпендикулярен к скорости v, и потому его проекция на направление 1 равна нулю.

Таким образом, из уравнения (5,1) мы получаем:

Отсюда следует, что величина постоянна вдоль линии тока:

(5,3)

Значение const, вообще говоря, различно для разных линий тока. Уравнение (5,3) называют уравнением Бернулли.

Если течение жидкости происходит в поле тяжести, то к правой части уравнения (5,1) надо прибавить еще ускорение силы тяжести g. Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси z, причем положительные значения z отсчитываются вверх. Тогда косинус угла между направлениями g и 1 равен производной так что проекция g на 1 есть

Соответственно этому будем иметь теперь

Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остается постоянной сумма

(5,4)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление