Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи

1. Найти критическое число Рэлея для возникновения конвекции в жидкости в вертикальной цилиндрической трубе, вдоль которой поддерживается постоянный градиент температуры; стенки трубы а) идеально теплопроводящие, или б) теплоизолирующие (Г. А Остроумов, 1946).

Решение. Ищем решение уравнений в котором конвективная скорость v направлена везде по оси трубы (ось ), а вся картина движения постоянна вдоль этой оси, т. е. величины зависят только от координат в плоскости сечения трубы

Уравнения принимают вид

(число — радиус трубы). Из первых двух уравнений следует, что , а исключив из остальных уравнений , получим

На стенках трубы должны удовлетворяться условие и условие (в случае а) или (в случае ). Кроме того, должен быть равен нулю полный поток жидкости через поперечное сечение трубы. Уравнение имеет решения вида

где — функции Бесселя вещественного и мнимого аргумента, — полярные координаты в плоскости сечения трубы. Моменту возникновения конвекции отвечает то решение, которому соответствует наименьшее значение 31. Оказывается, что таковым является решение с

(причем градиент Описываемое этими формулами движение антисимметрично относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось трубы и делящей полость на две части; в одной из них жидкости опускается, а в другой поднимается. Написанное решение удовлетворяет условию при . В случае а условие приводит к уравнению его наименьший корень дает критическое число . В случае условие приводит к уравнению

Наименьший корень этого уравнения дает

2. Сформулировать вариационный принцип для задачи о собственных чениях 91, определяемых уравнениями (57,12).

Решение. Придадим уравнениям (57,12) более симметричный вид, введя вместо новую функцию т. е. снова изменив единицу измерения температуры. Тогда:

Поступая, как при выводе (57,7), получим где

(интеграл N положителен, в чем легко убедиться, приведя его к виду Вариационный принцип формулируется, как требование экстремальности J при дополнительных условиях Минимальное значение J определяет наименьшее собственное значение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление