Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. Энергия деформированного стержня

В предыдущем параграфе мы рассматривали только небольшую область вдоль длины изогнутого стержня. Переходя теперь к исследованию деформации во всем стержне, необходимо начать с выбора подходящего способа описания такой деформации. Существенно, что при сильном изгибе стержня в нем одновременно возникает, вообще говоря, также и некоторая деформация кручения, так что результирующая деформация есть комбинация чистого изгиба и кручения.

Для описания деформации удобно поступить следующим образом. Разделим весь стержень на ряд бесконечно малых элементов, каждый из которых вырезается из стержня двумя бесконечно близкими поперечными сечениями. В каждом таком элементе введем свою систему координат направления осей выберем таким образом, чтобы в недеформированном стержне все эти системы были параллельны друг другу, причем все оси С направлены параллельно оси стержня. При изгибании стержня в каждом элементе система координат поворачивается, причем в различных элементах, вообще говоря, различным образом. Каждые две бесконечно близкие системы оказываются при этом повернутыми друг относительно друга на некоторый бесконечно малый угол.

Пусть — вектор угла относительного поворота двух систем, находящихся на расстоянии вдоль длины стержня (как известно, бесконечно малый угол поворота можно рассматривать как вектор, направленный вдоль оси поворота; его составляющие представляют собою углы поворота вокруг каждой из трех осей координат).

Для описания деформации мы введем вектор

определяющий «скорость» поворота осей координат вдоль длины стержня. Если деформация является чистым кручением, то поворот последовательных систем координат происходит только вокруг оси стержня, т. е. вокруг осей . В этом случае, следовательно, вектор направлен вдоль оси стержня и представляет собой не что иное, как угол кручения , которым мы пользовались в § 16. Соответственно этому и в общем случае произвольной деформации компоненту вектора можно назвать углом кручения. При чистом же изгибе стержня в одной плоскости вектор не имеет компоненты т. е. лежит в каждой точке целиком в плоскости . Если при этом выбрать плоскость, в которой происходит изгиб, в качестве плоскости . то поворот происходит в каждой точке вокруг оси т. е. параллельно оси .

Введем единичный вектор t, направленный по касательной к стержню, рассматриваемому здесь просто как упругая линия. Производная называется вектором кривизны линии; его абсолютная величина равна , где R — радиус кривизны, а его направление называется направлением главной нормали кривой.

Изменение вектора при бесконечно малом повороте равно векторному произведению вектора угла поворота на сам рассматриваемый вектор. Поэтому для разности векторов t в двух бесконечно близких точках упругой линии можно написать:

или, разделив на

Умножив это равенство с обеих сторон векторно на t, получаем

Направление вектора касательной в каждой точке совпадает с направлением оси в этой же точке. Поэтому Введя единичный вектор главной нормали так, что можно, следовательно, написать:

Первый член справа представляет собой вектор с двумя компонентами Единичный вектор называется, как известно, единичным вектором бинормали. Таким образом, компоненты образуют вектор, направленный по бинормали к стержню и по абсолютной величине равный его кривизне

Введя, таким образом, вектор , характеризующий деформацию, и выяснив его свойства, мы можем вывести выражение для упругой свободной энергии изогнутого стержня. Упругая энергия (отнесенная к единице длины стержня) является квадратичной функцией деформации, т. е. в данном случае квадратичной функцией компонент вектора Легко видеть, что в этой квадратичной форме должны отсутствовать члены, пропорциональные или Действительно, поскольку стержень однороден вдоль всей своей длины, то все величины, в частности и энергия, не должны меняться при изменении направления положительного отсчета координаты , т. е. при замене на — ; указанные же произведения при такой замене переменили бы свой знак.

Что касается члена с квадратом то надо помнить, что при мы имеем дело с чистым кручением, и тогда выражение для энергии должно совпасть с выражением, полученным в § 16. Таким образом, соответствующий член в свободной энергии имеет вид

Наконец, члены, квадратичные по можно написать, исходя из выражения (17,7) для энергии слабо изогнутого небольшого участка стержня.

Предположим, что стержень подвергается лишь слабому изгибу. Плоскость выберем в плоскости изгиба так, что компонента исчезает; кручение также отсутствует при слабом изгибе. Выражение для энергии должно в этом случае совпадать с (17,7):

Но мы видели, что является как раз квадратом плоского вектора Поэтому энергия должна иметь вид

При произвольном выборе осей это выражение напишется, как известно из механики, в виде

где — компоненты тензора инерции сечения стержня. Удобно выбрать оси так, чтобы они совпали с главными осями инерции сечения стержня. Тогда мы будем иметь просто

где — главные моменты инерции сечения. Поскольку коэффициенты при и постоянные, то полученное выражение должно иметь место и при сильном изгибе.

Наконец, интегрируя по всей длине стержня, получим окончательно следующее выражение для свободной упругой энергии изогнутого стержня;

Далее, выразим через момент сил, действующих на сечение стержня. Это легко сделать, используя опять результаты, полученные ранее для чистого кручения и слабого чистого изгиба. При чистом кручении момент сил относительно оси стержня равен Поэтому заключаем, что в общем случае момент относительно оси должен быть равен Далее, при слабом изгибе в плоскости момент относительно оси есть . Но при таком изгибе вектор направлен по оси так что есть просто его абсолютная величина и Поэтому заключаем, что в общем случае должно быть — (оси выбраны по главным осям инерции сечения). Таким образом, компоненты вектора М момента сил равны

(18,6)

Упругая энергия (18,5), выраженная через момент сил, имеет вид

Важным случаем изгиба стержней является слабый изгиб, при котором на всем протяжении стержня отклонение его от первоначального положения мало по сравнению с длиной стержня. В этом случае кручение можно считать отсутствующим, так что можно положить и из (18,4) имеем просто

Введем неподвижную в пространстве систему координат с осью z вдоль оси недеформированного стержня (вместо связанных в каждой точке со стержнем координат . Обозначим посредством X, Y координаты х, у точек упругой линии стержня; X и Y определяют смещение точек линии от их первоначального положения до изгиба.

Ввиду того что изгиб слаб, вектор касательной t почти параллелен оси , так что приближенно можно считать его направленным вдоль этой оси. Далее, единичный вектор касательной равен производной

от радиус-вектора точек кривой по ее длине. Поэтому имеем

(производную по длине стержня можно приближенно заменить производной по ). В частности, и -компоненты этого вектора равны соответственно Компоненты с той же точностью равны теперь компонентам и из (18,8) получаем

Подставляя эти выражения в (18,5), получаем упругую энергию слабо изогнутого стержня в виде

Напомним, что — моменты инерции соответственно относительно осей х, у, являющихся главными осями инерции.

В частности, для стержня кругового сечения и в подынтегральном выражении получается просто сумма квадратов вторых производных, совпадающая в рассматриваемом приближении с квадратом кривизны стержня:

Ввиду этого формулу (18,10) можно естественным образом обобщить для слабого изгиба стержней (кругового сечения), имеющих в своем естественном (недеформированном) состоянии любую непрямолинейную форму. Для этого надо написать энергию изгиба в виде

где — радиус естественной кривизны стержня в каждой его точке. Это выражение, как и должно быть, обладает минимумом в недеформированном состоянии переходит в формулу (18,10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление