Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 37. Прямолинейные дисклинации в нематиках

Равновесному состоянию нематической среды при заданных граничных условиях не обязательно соответствует всюду непрерывное распределение , в котором вектор имел бы в каждой точке вполне определенное направление. В механике нематиков необходимо рассматривать также и деформации с полями , содержащими особые точки или особые линии, в которых направление оказывается неопределенным. Линейные особенности называют дисклинациями.

Рис. 27

Возможность возникновения дисклинаций можно проиллюстрировать простыми примерами. Рассмотрим нематик в длинном цилиндрическом сосуде, причем граничные условия требуют перпендикулярности поверхности сосуда. Естественно ожидать что в равновесии вектор в каждой точке будет лежать в плоскости поперечного сечения цилиндра и направлен по радиусу в этом сечении (как это изображено на рис. 27, а); очевидно, что на оси цилиндра направление будет при этом неопределенным, так что эта ось будет дисклинацией. Если же граничные условия требуют параллельности направления стенке сосуда в плоскостях его поперечного сечения, то установится распределение с векторами , лежащими везде вдоль концентрических окружностей в этих плоскостях с центрами на оси цилиндра (рис. 27, б); и в этом случае направление на оси будет неопределенным.

Эти два примера — простые частные случаи прямолинейных дисклинаций. Мы рассмотрим общую задачу о возможных распределениях в прямолинейных дисклинациях в неограниченной нематической среде. Очевидно, что распределение в такой дисклинации не зависит от координаты вдоль ее длины, так что достаточно рассматривать его в плоскостях, перпендикулярных оси дисклинации.

Будем считать, что и сам вектор лежит везде в этих плоскостях. Таким образом, мы имеем дело с плоской задачей механики нематиков. Некоторые общие свойства решения этой задачи могут быть выяснены уже из общих соображений, без рассмотрения конкретных уравнений равновесия.

Рис. 28

Введем цилиндрическую систему координат с осью вдоль оси дисклинации. Как уже отмечено, распределение не зависит от координаты . Оно не может зависеть также и от координаты , поскольку в поставленной задаче (дисклинация в неограниченной среде) нет никаких параметров с размерностью длины, с помощью которых могла бы быть построена безразмерная (каковой является ) функция переменной . Таким образом, искомое распределение зависит только от угловой переменной:

Введем угол между и радиус-вектором, проведенным в плоскости в данную точку (рис. 28); компоненты двухмерного (в этой плоскости) вектора :

Полярный угол отсчитывается от некоторого избранного направления в плоскости — полярной оси. Введем также угол между и полярной осью; очевидно, что

Искомое решение определяется функцией Оно должно удовлетворять условию физической однозначности — при изменении переменной на (т. е. при обходе вокруг начала координат) вектор должен остаться неизменным с точностью до знака (изменение знака допустимо ввиду физической эквивалентности направлений ). Это значит, что должно быть

где — целое или полуцелое положительное или отрицательное число (значение отвечает «недеформированному» состоянию ). Для функции имеем отсюда

Число называют индексом Франка дисклинации.

Уравнение равновесия (которое будет выписано ниже) определяет производную и имеет вид

его правая сторона не содержит независимой переменной — как следствие того, что уравнение должно быть инвариантно по отношению к любому повороту всей системы (нематика) как целого вокруг оси z (т. е. по отношению к преобразованию ); функция периодична с периодом , поскольку значения и физически тождественны.

Отсюда

где постоянная интегрирования выбрана так, что при Подставив это выражение в (37,1), найдем, что

при (черта означает усреднение по периоду функции).

Отсюда можно сделать важное заключение о симметрии дисклинации: при повороте всей картины на угол () вокруг оси 2 углы меняются на , т. е. все распределение остается неизменным. Действительно, с учетом периодичности функции это преобразование приводит к тождеству

Таким образом, в результате одного лишь требования однозначности ось автоматически оказывается осью симметрии порядка

«Линии тока» директора определяются как линии, в каждой точке которых элемент длины параллелен n. Дифференциальное уравнение этих линий:

т. е.

Отсюда видно, в частности, что среди линий тока имеются прямолинейные, на которых ( — целое число). Эти линии представляют собой радиальных лучей

(37,7)

Плоскость поперечного сечения дисклинации делится этими лучами на , одинаковых, повторяющих друг друга секторов.

Перейдем к конкретному построению решения для нематика, энергия деформации которого дается формулой (36,1).

Для плоского распределения имеем:

. В свободной энергии остаются только члены с

Интеграл логарифмически расходится. В реальных задачах он обрезается сверху на некоторой длане порядка величины размеров образца. Снизу же интеграл обрезается на расстояниях порядка величины молекулярных размеров а, где перестает быть применимой макроскопическая теория. При определении интересующего нас решения на расстояниях можно считать множитель

просто некоторой постоянной, так что равновесное распределение определяется минимальностью функционала

Уравнение Эйлера этой вариационной задачи:

Оно имеет, прежде всего, два очевидных решения:

(37,10)

и

Это — осесимметричные решения, которым отвечают соответственно рис. 27, а и рис. 27, б. Эти решения однозначны, т. е. индекс Франка этих дисклинаций (ср. (37,1)).

Для нахождения решений с замечаем, что уравнение (37,9) имеет первый интеграл

Отсюда находим решение в виде (37,3) с функцией

Константа q определяется условием (37,4)

(при этом должно быть . Эти формулы определяют искомое решение. При каждом решение единственно: поскольку левая часть условия (-монотонно возрастающая функция , это равенство удовлетворяется лишь одним значением q. Функция ) четна; поэтому — нечетная функция. Это значит, что плоскость является плоскостью симметрии распределения; в силу существования оси симметрии тем самым возникают еще проходящих через ось плоскостей симметрии. Наконец, плоскостью симметрии, очевидно, является плоскость Таким образом, дисклинация с индексом обладает полной симметрией точечной группы .

При из (37,14) очевидным образом следует, что и соответствующее решение есть просто

(37,15)

Для выяснения качественного характера полученных решений исследуем поведение линий тока вблизи радиальных лучей На этих лучах а вблизи них и функция (37,13) сводится к постоянной:

(37,16)

Отсюда

Дифференциальное уравнение линий тока принимает вид

откуда находим для формы линий тока вблизи луча

(37,17)

Если ввести декартовы координаты с осью вдоль луча, то вблизи последнего: и уравнение линий тока записывается в виде

(37,18)

Далее надо рассмотреть различные случаи. При имеем и из (37,14) очевидно, что и потому . В этом случае линии тока выходят из начала координат, касаясь луча.

При параметр с ним и . Численное исследование уравнения (37,14) показывает, что а потому и Из (37,18) видно, что у растет вместе с

Рис. 29

Область вблизи начала координат нельзя рассмотреть этим способом, так как, согласно (37,17), при малым значениям отвечают большие значения .

Наконец, при параметр и, согласно (37,18), при Линии тока асимптотически прижимаются к лучу.

На рис. 29 схематически показаны линии тока для дисклинаций и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление