Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 82. Аналитические свойства функции

Функция в (77,3) конечна при всех значениях своего аргумента, в том числе и при . У диэлектриков эта функция стремится при к нулю.

Это обстоятельство является просто выражением того факта, что на значение в заданный момент времени не могут заметно влиять значения в очень давние моменты. Физический механизм, лежащий в основе интегральной зависимости вида (77,3), заключается в процессах установления электрической поляризации. Поэтому интервал значений, в котором функция заметно отличается от нуля, — порядка величины времени релаксации, характеризующего скорость этих процессов.

Сказанное относится и к металлам, с той только разницей, что стремится к нулю при не сама функция а разность . Это отличие связано с тем, что уже прохождение стационарного тока проводимости, хотя и не приводит к какому-либо реальному изменению физического состояния металла, но в наших уравнениях формально означает появление индукции D согласно

или

Функция была определена согласно (77,5):

(82,1)

Оказывается возможным выяснить некоторые весьма общие свойства этой функции, рассматривая со как комплексную переменную ). Эти свойства можно было бы сформулировать здесь сразу, заметив, что электрическая восприимчивость относится к категории величин (обобщенных восприимчивостей), рассмотренных уже в V § 123. Тем не менее, мы частично повторим здесь соответствующие рассуждения и результаты как с целью облегчения чтения, так и с целью подчеркнуть некоторые различия между случаями диэлектриков и металлов.

Из определения (82,1) и из указанных выше свойств функции следует, что во всей верхней полуплоскости есть однозначная функция, нигде не обращающаяся в бесконечность, т. е. не имеющая никаких особых точек. Действительно, при в подынтегральном выражении в формуле (82,1) имеется экспоненциально убывающий множитель , а поскольку и функция конечна во всей области интегрирования, то интеграл сходится. Функция не имеет особенностей и на самой вещественной оси , за исключением, возможно, лишь начала координат (у металлов ) имеет в этой точке простой полюс).

В нижней же полуплоскости определение (82,1) неприменимо, так как интеграл расходится. Поэтому функция в нижней полуплоскости может быть определена лишь как аналитическое продолжение формулы (82,1) из верхней полуплоскости. В этой области функция имеет, вообще говоря, особые точки. Функция в верхней полуплоскости имеет не только формальный математический, но и физический смысл: ею определяется связь между D и Е для полей с возрастающей (как ) амплитудой. В нижней же полуплоскости такое физическое истолкование невозможно уже хотя бы потому, что наличие затухающего (как ) поля предполагает его бесконечную величину при .

Обратим внимание на то, что вывод об отсутствии особых точек у функции в верхней полуплоскости является с физической точки зрения следствием принципа причинности. Последний проявляется в том, что интегрирование в (77,3) производится лишь по времени, предшествующему данному моменту t, в результате чего в формуле (82,1) область интегрирования и распространяется от 0 до (а не от до ).

Из определения (82,1) очевидно, далее, что

Это есть обобщение соотношения (77,7), относящегося к вещественным значениям со. В частности, для чисто мнимых значений со имеем

Это значит, что на верхней мнимой полуоси функция вещественна

Подчеркнем, что свойство (82,2) выражает собой просто тот факт, что операторная связь должна обеспечивать вещественность D при вещественном Е. Если функция дается вещественным выражением

то, применяя оператор к каждому из двух членов, получим:

условие вещественности этой величины совпадает с (82,2).

Согласно результатам § 80 мнимая часть положительна при положительных вещественных значениях , т. е. на правой части вещественной оси.

Поскольку, согласно (82,2), , то на левой части этой оси мнимая часть отрицательна. Таким образом,

В точке же функция меняет знак, проходя через нуль (у диэлектриков) или через бесконечность (у металлов). Это — единственная точка на вещественной оси, в которой может обратиться в нуль.

При стремлении со к бесконечности по любому пути (в верхней полуплоскости) функция стремится к единице. Это обстоятельство было указано уже в § 78 для случая, когда вдоль вещественной оси. В общем случае это видно из той же формулы (82,1): если так, что , то интеграл в (82,1) обращается в нуль благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя если же остается конечным, а то обращение интеграла в нуль происходит благодаря наличию осциллирующего множителя .

Перечисленных свойств функции достаточно для того, чтобы доказать следующую теорему: функция не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней полуплоскости, за исключением лишь точек мнимой оси; на последней же монотонно убывает от значения (у диэлектриков) или от (у металлов) при до 1 при Отсюда следует, в частности, что функция не имеет нулей в верхней полуплоскости. Мы не будем повторять здесь доказательство этих утверждений, приведенное в V § 123; нужно помнить лишь, что роль обобщенной восприимчивости играет не сама функция а разность

Мы не будем повторять также вывода соотношений, связывающих друг с другом мнимую и вещественную части функции . Выпишем лишь окончательные формулы с соответствующим образом измененными обозначениями.

Напишем функцию вещественной переменной , как и в § 77, в виде . Если функция относится к диэлектрику, указанные соотношения гласят

где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл от полюсного выражения понимается в смысле его главного значения (Н. A. Kramers, R. L. Kronig, 1927).

Напомним, что единственным существенным свойством функции использованным при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в верхней полуплоскости. Поэтому можно сказать, что формулы Крамерса—Кронига (как и указанное свойство функции ) являются прямым следствием физического принципа причинности.

Воспользовавшись нечетностью функции можно привести формулу (82,6) к виду

Если речь идет о проводнике, то в точке функция имеет полюс, вблизи которого Это приводит к появлению в формуле (82,7) дополнительного члена (ср. V (123,18)):

формула же (82,6) или (82,8) остается неизменной. Кроме того, в случае металлов надо сделать еще следующее замечание. В конце § 77 было указано, что у металлов могут существовать области частот, в которых функция б теряет свой физический смысл в связи с эффектами пространственной неоднородности поля. Между тем, в рассматриваемых формулах интегрирование должно вестись по всем частотам. В таких случаях под в соответствующих областях частот надо понимать функцию, получающуюся в результате решения формальной задачи о поведении тела в фиктивном пространственно однородном периодическом электрическом поле (а не в неизбежно неоднородном поле электромагнитной волны).

Особенно существенна формула (82,8). Она дает возможность вычислить функцию если известна хотя бы приближенным (например, эмпирическим) образом функция для данного тела. При этом существенно, что для любой функции , удовлетворяющей физически необходимому требованию при формула (82,8) дает функцию , не противоречащую никаким необходимым физическим требованиям, т. е. принципиально возможную (знак и величина не ограничиваются никакими общими физическими условиями). Это обстоятельство и дает возможность использовать формулу (82,8) даже по приближенной функции Напротив, формула (82,7) не дает (в общем случае произвольной функции ) физически возможной функции так как не обеспечивает автоматическим образом положительность последней.

В теории дисперсии принято записывать выражение для в виде

(82,10)

где — заряд и масса электрона, называется силой осцилляторов в интервале частот Согласно (82,8) эта величина связана с посредством

У металлов стремится к конечному пределу при

При достаточно больших значениях в подынтегральном выражении в (82,8) можно пренебречь по сравнению с . Тогда

С другой стороны, для диэлектрической проницаемости при больших частотах мы имеем формулу (78,1). Сравнение обоих выражений приводит к правилу сумм

(82,12)

где N — полное число электронов в единице объема вещества.

Если не имеет особенности при то в формуле (82,8) можно перейти к пределу и мы получим

(82,13)

Если же точка является особой для функции (металлы), то предел, к которому стремится интеграл (82,8) при не совпадает со значением, получающимся путем простого вычеркивания в нем . Для вычисления указанного предела необходимо предварительно заменить в подынтегральном выражении на

эта замена не меняет значения интеграла, поскольку тождественно

Формулу (82,13) для диэлектриков можно переписать в виде

где черта обозначает усреднение с помощью силы осцилляторов:

Это выражение может быть полезным при различных оценках величин .

Наконец, можно получить формулу, выражающую значения на верхней мнимой полуоси через значения на вещественной оси (соответствующие вычисления тоже приведены в V § 123). Эта формула имеет вид

(82,15)

Если проинтегрировать это соотношение с обеих сторон по со, то получается

(82,16)

Все изложенные результаты (с небольшим лишь видоизменением) относятся и к магнитной проницаемости Отличие связано прежде всего с тем, что при увеличении частоты функция сравнительно рано теряет физический смысл. Поэтому, например, применять формулы Крамерса—Кронига к надо следующим образом. Вместо бесконечного рассматриваем конечный интервал значений (от 0 до ), простирающийся до таких частот, при которых еще имеет смысл, но уже перестает меняться и ее мнимую часть можно считать равной нулю; соответствующее вещественное значение обозначим как Тогда формулу (82,8) надо писать в виде

(82,17)

В противоположность , значение может быть как меньше, так и больше 1. Изменение же вдоль мнимой оси по-прежнему является монотонным убыванием — на этот раз от до

Наконец, отметим, что аналитическими свойствами, установленными в этом параграфе для функции в равной степени обладает и функция .

Так, аналитичность в верхней полуплоскости следует из аналитичности и отсутствия нулей у функции в в этой полуплоскости. Для функции справедливы те же соотношения Крамерса — Кронига (82,6-7), что и для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление