Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи

1. Определить частоты собственных колебаний в резонаторе с идеально проводящими стенками, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда.

Решение. Оси выбираем по трем ребрам параллелепипеда, имеющим длины Решения уравнений (90,3) и (90,4), удовлетворяющие граничному условию Е = 0:

и аналогично для где

( — целые положительные числа); постоянные связаны соотношением

а собственные частоты

Магнитное поле вычисляется из (1);

и аналогично для

Если все три или два из чисел равны нулю, Поэтому первой (наименьшей) частоте соответствует колебание, в котором одно из этих чисел равно нулю, а два — единице.

Ввиду наличия связи (3) решение (1) (с заданными отличными от нуля ) содержит всего две независимые произвольные постоянные, т. е. каждая собственная частота двукратно вырождена. Частоты же, для которых одно из чисел равно нулю, не вырождены.

2. Определить частоты дипольно-электрических и дипольно-магнитных колебаний в сферическом резонаторе (радиуса а).

Решение. В стоячей сферической волне дипольно-электрического типа поля Е и Н имеют вид

где b — постоянный вектор, (см. II § 72). Граничное условие при приводит к уравнению

Его наименьший корень есть Частота есть наименьшая из всех собственных частот сферического резонатора.

В стоячей сферической волне дипольно-магнитного типа

Граничное условие для E приводит к уравнению

Его первый корень:

3. В резонатор внесен маленький шарик с электрической и магнитной поляризуемостями Определить вызванный этим сдвиг собственной частоты резонатора.

Решение. Пусть Е, Н — напряженности поля в резонаторе без шарика, — в его присутствии. Поля Е и Н удовлетворяют уравнениям (90,1), — уравнениям

где — плотность тока в шарике. Умножим первое уравнение второе на , произведем комплексное сопряжение над уравнениями (90,1) и умножим первое из них на а второе на Сложив затем все четыре уравнения, получим

где — искомый сдвиг частоты. Проинтегрируем это равенство по объему резонатора. Левая сторона преобразуется по теореме Гаусса и исчезает, так как на стенке Ввиду малых размеров шарика основной вклад в интеграл от первого члена справа возникает на больших расстояниях от него; с другой стороны, на этих расстояниях производимое шариком возмущение поля мало, так что можно положить . Интеграл же от второго члена преобразуется подобно тому, как это делалось в § 89 (и в задаче 1 к нему), и дает

где — координаты шарика, — его объем; подразумевается, что размеры шарика настолько малы, что изменением полей Е, Н на них можно пренебречь.

Таким образом, с учетом (90,5), находим для искомого сдвига частоты;

Если поляризуемости комплексны, эта формула дает как сдвиг частоты собственных колебаний, так и их затухание.

4. Резонатор заполнен прозрачным диэлектриком без дисперсии с диэлектрической проницаемостью Определить изменение собственной частоты при малом изменении диэлектрической проницаемости.

Решение. Невозмущенное поле в резонаторе удовлетворяет уравнениям

а возмущенное поле Е, Н — уравнениям

(членом с пренебрегаем). Поступив с этими четырьмя уравнениями, как в предыдущей задаче, получим

и затем:

При переходе к последней формуле учтено, что для заполненного диэлектриком резонатора соотношение (90,5) приобретает вид

как это ясно из (90,9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление