§ 12. Электрострикция изотропных диэлектриков

Для твердого диэлектрика в электрическом поле нельзя ввести понятие давления так, как это делается для изотропного тела в отсутствие поля, потому что действующие в таком диэлектрике силы (они будут определены в §§ 15, 16) меняются вдоль тела и анизотропны, даже если тело само по себе изотропно. Точное определение деформации (электрострикции) такого тела требует решения сложной задачи теории упругости.

Дело обстоит, однако, гораздо проще, если нас интересует только изменение полного объема тела. Как уже было указано в § 5, при этом можно считать форму тела неизменной, т. е. рассматривать деформацию как равномерное всестороннее сжатие или растяжение.

Будем пренебрегать диэлектрическими свойствами внешней среды (например, атмосферы), в которой находится рассматриваемое тело, т. е. будем считать, что ее . Роль среды сводится только к созданию равномерного давления, действующего на поверхность тела. Именно это внешнее давление мы будем обозначать ниже посредством Р. Если — полная свободная энергия тела, то согласно известному термодинамическому соотношению

и соответственно в выражении для дифференциала должен быть добавлен член . Так, в однородном внешнем поле имеем вместо (11,5)

Введем полный термодинамический потенциал тела согласно обычному термодинамическому определению:

Для дифференциала этой величины (в однородном внешнем поле) имеем соотношение

Изменение термодинамических величин во внешнем электрическом поле является обычно относительно малой величиной. Согласно теореме о малых добавках (см. V (15,12)), малое изменение свободной энергии (при заданных Т и V) и малое изменение термодинамического потенциала (при заданных Т и Р) равны друг другу. Поэтому наряду с (11,8) можно написать аналогичное соотношение

для термодинамического потенциала тела во внешнем однородном поле. Здесь относится к телу в отсутствие поля при заданных значениях Р, Т (в то время как в (11,8) есть свободная энергия тела в отсутствие поля при заданных значениях V и Т).

Выразив в явном виде зависимость дипольного момента от V и согласно (11,9), перепишем (12,3) в виде

причем поправочный член должен быть выражен в функции от температуры и давления согласно уравнению состояния тела в отсутствие поля. Эта формула особенно упрощается в случае малой диэлектрической, восприимчивости вещества:

Искомое изменение объема во внешнем поле можно получить теперь непосредственно путем дифференцирования Ф по давлению (при постоянных ). Так, из (12,5) найдем

Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной (в противоположность электрострикции проводников, объем которых в поле всегда возрастает).

Аналогичным образом можно вычислить также и количество тепла Q, поглощаемое в диэлектрике при изотермическом включении внешнего электрического поля (причем внешнее давление поддерживается постоянным.

Дифференцирование по температуре даст изменение энтропии тела, а умножив его на Т, получим искомое количество тепла. Так, из (12,5) получается

Положительные значения Q соответствуют поглощению тепла.

Задачи

1. Определить изменение объема и электрокалорический эффект для диэлектрического эллипсоида в однородном электрическом поле, параллельном одной из его осей.

Решение. Согласно формулам (12,3) и (8,10) имеем

Для изменения объема находим:

а для электрокалорического эффекта:

где - коэффициент сжимаемости тела, а — коэффициент теплового расширения.

В частности, для плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней поле так что

Для такой же пластинки (или любого цилиндрического тела) в продольном поле и

2. Определить разность теплоемкости плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней поле при постоянной разности потенциалов между ее сторонами и теплоемкости при постоянной индукции; в обоих случаях внешнее давление поддерживается постоянным.

Решение. Согласно результатам задачи 1 энтропия пластинки

Индукция поля внутри пластинки совпадает с внешним полем: Поэтому для вычисления теплоемкости надо дифференцировать при постоянном ( Разность потенциалов между сторонами пластинки где - толщина пластинки. При равномерном сжатии или расширении тела I меняется пропорционально . Поэтому для вычисления теплоемкости надо дифференцировать при постоянном произведении . В результате найдем для искомой разности:

3. Определить электрокалорический эффект в однородном диэлектрике, полный объем которого поддерживается постоянным.

Решение. Строго говоря, при наложении внешнего поля плотность тела меняется (становясь неоднородной вдоль тела), даже если его полный объем поддерживается постоянным. Однако при вычислении изменения полной энтропии этим обстоятельством можно пренебречь и считать плотность постоянной в каждой точке тела.

Согласно (10,18) полная энтропия тела

где интегрирование распространяется по объему тела. Поглощаемое количество тепла

4. Определить разность (см. задачу 2) при постоянном полном объеме пластинки.

Решение. При неизменном объеме (а потому и толщине) пластинки дифференцирование при постоянной разности потенциалов эквивалентно дифференцированию при постоянной напряженности Е.

С помощью полученной в задаче 3 формулы для энтропии находим

5. Конденсатор состоит из двух проводящих поверхностей, находящихся на расстоянии h друг от друга, малом по сравнению с размерами обкладок; пространство между обкладками заполнено веществом с диэлектрической проницаемостью . В конденсатор вводится шарик радиуса с диэлектрической проницаемостью Определить изменение емкости конденсатора.

Решение. Пусть шарик вводится в конденсатор так, что разность потенциалов между его обкладками остается неизменной. Роль свободной энергии при гостоянных потенциалах проводников играет . В отсутствие шарика , где — первоначальная емкость конденсатора.

Ввиду малых размеров шарика можно считать, что он вводится в однородное поле с напряженностью а изменение мало. Малое изменение при постоянных потенциалах равно малому изменению при постоянных зарядах источников поля. С помощью формулы, полученной в задаче § 11, и формулы (8,2) находим

откуда искомая емкость