Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи

1. В проводящую среду погружена система электродов, поддерживаемых при постоянных потенциалах . С каждого из электродов стекает ток Определить полное джоулево тепло, выделяющееся в среде в 1 секунду.

Решение. Искомое тепло Q дается интегралом

взятым по объему среды. Преобразуем этот интеграл в интеграл по поверхности, учитывая, что на внешней границе среды а на поверхностях электродов . В результате получим

Рис. 15.

2. Определить распределение потенциала в проводящей сфере, в которую ток J входит через один полюс и выходит через противоположный полюс.

Решение. Вблизи полюсов О и О (рис. 15) потенциал соответственно должен иметь вид

Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа, а интегралы — а по бесконечно малым полусферам вокруг точек О и О равны Ищем потенциал в произвольной точке Р сферы в виде

где есть решение уравнения Лапласа, не имеющее полюсов внутри сферы и на ее поверхности. Из симметрии очевидно, что (как и ) есть функция только сферических координат .

На поверхности сферы должно быть Произведя дифференцирование, найдем отсюда для следующее граничное условие:

Если есть какое-либо решение уравнения Лапласа, то функция тоже есть решение. Сравнивая с написанным граничным условием, легко заключить, что ему удовлетворяет решение

Подставив и произведя интегрирование, получим окончательно

отсчитывается от значения при

3. Показать, что распределение тока в проводящей среде отвечает минимуму диссипации энергии.

Решение. Речь идет о минимуме интеграла

при дополнительном условии , выражающем сохранение заряда. Варьируя по j интеграл

(-лагранжев неопределенный множитель) и приравнивая вариацию нулю, получим уравнение или

совпадающее с уравнениями (21,2) и (21,3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление