Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 67. Магнитогидродинамическое течение между параллельными плоскостями

Поучительный пример магнитогидродинамического движения вязкой проводящей жидкости представляет стационарное течение в пространстве между двумя параллельными твердыми плоскостями, причем в перпендикулярном плоскостям направлении приложено однородное магнитное поле (J. Hartmann, 1937).

Это движение — простейший аналог пуазейлевого течения в обычной гидродинамике.

Естественно предположить, что скорость жидкости имеет везде одинаковое направление (которое выберем в качестве оси она зависит только от координаты z в направлении, перпендикулярном к твердым плоскостям. То же относится и к возникающему благо даря движению жидкости продольному полю Давление же Р зависит также и от так как в направлении движения имеется градиент давления, поддерживающий стационарное течение. Уравнение выполняется тождественно, а из уравнения следует, что . В силу -компоненты уравнения (66,9) сумма

является функцией только Поскольку в то же время от не зависит, то градиент давления мог бы быть функцией только а фактически (ввиду однородности вдоль оси ) равен постоянной величине — ( — падение давления на длине ). Далее, -компоненты уравнений (66,8—9) дают

Граничные условия на твердых поверхностях требуют равенства нулю скорости вязкой жидкости, а также непрерывности тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля:

где - расстояние между твердыми плоскостями, а плоскость расположена посередине между ними. Удовлетворяющее этим условиям решение уравнений (67,1-2) есть

Постоянная есть скорость жидкости в средней плоскости . Ее связь с градиентом давления можно получить, подставив (67,3) в (67,2). Средняя (по сечению) скорость жидкости

Критерием степени влияния магнитного поля на течение жидкости по сравнению с влиянием вязкости оказывается величина

(ее называют числом Гартманна). При получается

т. е. обычное пуазейлево течение. Если же то

Увеличение магнитного поля делает профиль скоростей более плоским на большей части сечения и уменьшает среднюю скорость движения (при заданном градиенте давления); основное падение скорости происходит в пристеночных слоях с толщиной .

Движение жидкости приводит к появлению электрического поля в направлении оси у. В силу стационарности движения rot Е = 0, откуда . В жидкости текут токи с плотностью

Но полный ток через сечение жидкости должен быть равен нулю; действительно, поскольку в то же время , то

Поэтому имеем

откуда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление