Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. IX. Теория конденсированного состояния
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 87. Правила сумм для формфактора

Динамический формфактор удовлетворяет определенным интегральным (по частотам ) соотношениям — правилам сумм. Вывод одного из них основан на правиле коммутации между операторами Коммутатор гейзенберговских операторов, взятых в одинаковый момент времени, совпадает с коммутатором шредингеровских операторов . Оператор определяется выражением (86,9) и требуемый коммутатор дается формулой

где - масса частицы жидкости.

Исходим из выражения компоненты фурье-разложения функции только по координатам

Имея в виду, что подынтегральное выражение зависит только от заменяем интегрирование по интегрированием по произведя его под знаком усреднения, получим

Вычислим значение производной при Поскольку зависит только от разности то

и после подстановки сюда (87,2)

Каждый из двух членов этого выражения зависит только от абсолютной величины вектора к; на этом основании заменим во втором члене k на —k. Положив затем и учтя, что найдем, что разность в угловых скобках совпадает с коммутатором (87,1). Таким образом, находим до

С другой стороны, представив в виде фурье-интеграла по частотам, имеем

Сравнив оба выражения производной, получим искомое соотношение

(G. Plachek, 1952). Подчеркнем, что оно справедливо при любых k. Для перехода в этом соотношении к классическому пределу надо записать интеграл в его левой стороне в виде

и, согласно (86,14), подставить в него

После этого множители в обеих сторонах равенства сокращаются и остается

Применим формулу (87,3) к бозе-жидкости при Т = 0 и рассмотрим область малых значений k. При главный вклад в интеграл дает -функционный пик в формфакторе , возникающий в (86,13) от переходов с рождением одного фонона (поскольку в основном состоянии жидкости фононы отсутствуют, то переходов с уничтожением фонона при нет). Этот член имеет вид , где -энергия фонона (u — скорость звука). Подставив же его в качестве в (87,3), найдем коэффициент А, и в результате

Интегрирование этого выражения по формуле (86,7) дает статический формфактор

(R. P. Feynman, 1954). Поскольку эта формула относится к области малых значений k, то ее фурье-обращение дает асимптотическое выражение корреляционной функции при больших г:

(для проверки этой формулы см. интеграл, приведенный в примечании на стр. 411). При формула (87,6) справедлива до сколь угодно больших расстояний. При низких, но конечных температурах она верна вплоть до расстояний на которых флуктуации перестают быть чисто квантовыми.

На еще больших расстояниях закон (87,6) сменяется экспоненциальным убыванием (если отвлечься от вклада ван-дер-ваальсовых сил — см. § 83).

Еще одно правило сумм можно получить из установленной в § 86 связи формфактора с некоторой обобщенной восприимчивостью . Эта связь дается формулой (86,20), которая при сводится (для ) к

Согласно формулам Крамерса — Кронига (см. V (123,15)),

Положив здесь и учтя, что величина вещественна, пишем

В пределе имеет место соотношение

Оно следует из того, что в статическом медленно меняющемся в пространстве слабом поле U имеет место условие равновесия так что включение внешнего поля эквивалентно изменению химического потенциала на —U. В пределе имеем поэтому из (86,18)

откуда и следует (87,9).

Собирая полученные формулы найдем, таким образом, следующее правило сумм для формфактора жидкости

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление