§ 37. Температурные функции Грина
Для построения диаграммной техники вычисления гриновской функции при конечных температурах надо было бы перейти от гейзенберговского представления
-операторов к представлению взаимодействия, как это было сделано в § 12.
При этом мы снова пришли бы к выражению, отличающемуся от (12,12) лишь тем, что усреднение производится не по основному состоянию. Это отличие, однако, очень существенно: усреднение оператора
уже не может быть отделено от усреднения остальных множителей, как это было сделано при переходе от (12,12) к (12,14); дело в том, что неосновное состояние под влиянием оператора
переводится не само в себя, а в некоторую суперпозицию возбужденных состояний с той же энергией (включающую в себя результаты всевозможных процессов взаимного рассеяния квазичастиц). Это обстоятельство приводит к существенному усложнению диаграммной техники — возникают новые члены от свертываний, в которых участвуют также и
-операторы из
.
Можно, однако, изменить определение гриновской функции таким образом, чтобы подобных усложнений не возникало. Основанный на этом определении математический аппарат, разработанный Мацубарой (Т. Matsubara, 1955), в особенности целесообразен для вычисления термодинамических величин макроскопической системы.
Введем так называемые мацубаровские
-операторы, согласно определениюх),
где
— вспомогательная вещественная переменная; эти операторы отличаются, с формальной точки зрения, от гейзенберговских операторов заменой в последних вещественной переменной
мнимой величиной
Такой же заменой
например в (7,8), получаются уравнения, которым удовлетворяют операторы (37,1). С помощью этих операторов новая функция Грина b определяется аналогично тому, как обычная гриновская функция G определяется через гейзенберговские
-операторы:
где символ
означает
-хронологизацию - расположение операторов в порядке увеличения
справа налево (с изменением знака при перестановке операторов в случае ферми-систем); скобки же
означают усреднение по распределению Гиббса.
а сравнив это выражение с (37,4), получим
(ввиду (37,5) аргумент функции справа при
положителен).
Разложим теперь функцию
в интеграл Фурье по координатам и в ряд Фурье по
(на интервале (37,5)):
причем для ферми-систем
(37,8а)
а для бозе-систем
(37,86)
при этом автоматически выполняется условие (37,6). Обратное к (37,7) преобразование имеет вид
(интеграл по области
преобразован в интеграл от 0 до
с учетом (37,6) и (37,8)).
Вычисления, аналогичные произведенным в § 36, позволяют выразить
через матричные элементы шредингеровских
-операторов. Они приводят к результату
Отсюда видно прежде всего, что
(37,11)
Далее, сравнив (37,10) с разложениями (36,6) и (36,20) для
, найдем, что
(37,12)
Условие
связано с тем, что выражения (36,5) и (36,20) справедливы непосредственно лишь в верхней полуплоскости
, как это объяснено на стр. 174. Таким образом, в компонентах Фурье температурная функция Грина совпадает с запаздывающей функцией Грина, взятой в дискретных точках мнимой оси
.
Этот результат позволяет, в частности, сразу написать выражение для температурной функции Грина идеального газа: заменой находим из (36,17)
В следующем параграфе будет изложена диаграммная техника для вычисления функции
. Для определения же функции
(и тем самым, в частности, для определения энергетического спектра системы) надо построить аналитическую функцию, совпадающую с
в точках
и не имеющую особенностей в верхней полуплоскости
Эта процедура однозначна, если добавить требование
при
(см. (36,11)). Тем не менее в конкретных случаях такое аналитическое продолжение может быть сопряжено с определенными трудностями. Но для вычисления термодинамических величин его производить не надо.
Так, для вычисления потенциала
можно исходить из выражения усредненной по распределению Гиббса матрицы плотности
(37,14)
(очевидного из определения (37,2); ср. (7,17)). Положив
(и просуммировав по
получим для плотности системы
Это выражение определяет N как функцию
после чего
) вычисляется интегрированием равенства
.