§ 83. Асимптотическое поведение корреляционной функции в жидкости
Длинноволновые электромагнитные флуктуации приводят. также к некоторым специфическим свойствам корреляционной функции флуктуаций плотности в однородной жидкости.
Напомним (см. V § 116), что корреляционная функция
определяется через среднее значение от произведения флуктуаций плотности числа частиц t в Двух точках пространства согласно
Корреляционная функция связаша со взаимодействием между частицами, и ее асимптотическое поведение на больших расстояниях определяется дальнодействующей, ван-дер-ваальсовой частью этого взаимодействия.
Поэтому
, как и ван-дер-ваальсовы силы, убывает с расстоянием по степенному закону (J. Enderby, Т. Gaskell, N. Н. March, 1965).
Это отражается, разумеется, и на свойствах фурье-компонент корреляционной функции
Если бы между частицами жидкости действовали только силы с радиусом действия порядка атомных размеров а, то функция
убывала бы с расстоянием по экспоненциальному закону с показателем
. В терминах фурье-компонент это значит, что
была бы регулярной функцией от
разложимой при
по четным степеням
Дальнодействующие же силы приводят к появлению в
члена (обозначим его
) существенно меняющегося уже в области
(а не
), где
— характерные длины волн в спектре жидкости
. В области
параметр
может быть как малым, так и большим; функция
в этой области имеет сингулярный характер.
Для вычисления корреляционной функции воспользуемся ее связью со второй вариационной производной от свободной энергии тела по его плотности. По определению, эта производная есть функция
, фигурирующая в выражении
для изменения свободной энергии, связанного с флуктуациями плотности (при заданной температуре). Фурье-компонента
этой функции связана с искомой функцией
соотношением
(см. V (116,14)). Подчеркнем, что эта формула предполагает классичность флуктуаций, для чего требуется где
— частота колебаний с волновым вектором k. Полагая со
(где u — скорость звука в жидкости), получим условие
что соответствует расстояниям
.
«Регулярная» часть функции
, связанная с короткодействующими силами, разложима по степеням k; ограничиваясь (при
) первым членом разложения и обозначив его через b, пишем
где
— интересующая нас «сингулярная» часть функции. Ввиду относительной слабости ван-дер-ваальсовых сил
, и поэтому результат подстановки (83,5) в (83,3) можно представить в виде
Поскольку связь
оказывается линейной, то функция
на больших расстояниях есть просто
Первому же (не зависящему от k) члену в (83,6) отвечает координатная функция вида
, связанная с близкодействующими силами (при пренебрежении их радиусом действия). Для определения
исходим из формулы (80,11) для вариации свободной энергии. Написав в ней
мы видим, что выражение
представляет собой первую вариационную производную свободной энергии по плотности. Для второго дифференцирования надо, в свою очередь, проварьировать это выражение, т. е; найти
Сама функция удовлетворяет уравнению (79,8):
(83,10)
а его варьирование дает уравнение для вариации функции:
(83,11)
Решение уравнения (83,11) можно написать сразу, заметив, что в силу (83,10) «невозмущенная» функция
является гриновской функцией этого уравнения; поэтому
(здесь использовано также, что
) Наконец, подставив сюда (83,8) и затем все вместе в (83,9), получим вторую вариационную производную
Эта формула вместе с (83,7) и дает искомое общее выражение корреляционной функции
при
(М. П. Кемоклидзе, Л. П. Питаевский, 1970).
Предположенное уже ранее условие (83,4) для волновых векторов эквивалентно условию
для расстояний. Если одновременно с этим условием ограничить область значений
также и сверху:
(83,13)
то в сумме будут существенны большие значения s, и суммирование по дискретным «частотам»
можно заменить интегрированием по
Функция
получается из (77,6) заменой
. Произведя дифференцирование и возведя в квадрат, получим
Подстановка (83,15) в (83,14) приводит к довольно сложному выражению, которое, однако, упрощается в двух предельных случаях.
В случае «малых» расстояний (
, ср. § 81) в интеграле существенна область
при этом
так что в (83,15) можно заменить экспоненциальный множитель единицей, а в скобках сохранить лишь последний член. Тогда найдем
Фурье-образ этой функции
(83,17)
В обратном случае «больших» расстояний
в интеграле существенна область
Поэтому можно заменить
ее электростатическим значением
и вынести
из-под знака интеграла в (83,14). После этого интегрирование производится элементарно (причем все члены в (83,15) дают вклад одинакового порядка величины). В результате получается
Фурье-образ этой функции
(83,19)