Главная > Математика > Лекции по вариационному исчислению
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14. Функция Вейерштрасса.

Для функционала

функцией Вейерштрасса называют следующую функцию от скалярной переменной и трёх векторов :

Если рассматривать как функцию от последнего векторного аргумента, то представляет разность между значением функции в точке Q и линейной частью её разложения Тейлора для точки Z. Поэтому

Для функционала в параметрической форме

под функцией Вейерштрасса понимают функцию

Она построена так же, как и для функционала в обычной форме. Однако вследствие однородности функции F написанное выражение допускает упрощение. Действительно, в силу указанного свойства функции

Таким образом,

(3) Для дальнейшего преобразования возьмём тождество

Интегрируя его от 0 до , получим:

Аналогично находим:

С помощью этих формул равенство (3) может быть переписано в виде

При построении функции мы можем для выбранного изменять в любом интервале длины .

Беря в качестве этого интервала , найдём, что

Поэтому в интеграле (4) для всех из интервала интегрирования либо

либо

В обоих случаях функция не меняет знака в интервале интегрирования и, следовательно, применима первая теорема о среднем значении. Она даёт:

Как видим,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление