Главная > Математика > Лекции по вариационному исчислению
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА IV. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

27. Понятие о прямых методах.

Основным вопросом, возникающим в связи с любой вариационной проблемой, является вопрос о существовании решения. Классические методы вариационного исчисления приводят этот вопрос в первую очередь к вопросу о существовании решения дифференциального уравнения. При этом ищется решение не в окрестности какой-либо точки, а во всей области — при определённых краевых условиях (решение в целом). Доказательство существования таких решений теория дифференциальных уравнений даёт лишь в редких случаях. Это обстоятельство заставило искать другие подходы к вариационным проблемам и привело к созданию так называемых прямых методов.

Прямые методы вариационного исчисления оказались полезными и для теории дифференциальных уравнений. Действительно, если некоторое дифференциальное уравнение можно рассматривать как уравнение Эйлера—Лагранжа для некоторого функционала и если каким-то приёмом установлено, что этот функционал имеет экстремум в классе достаточное число раз дифференцируемых функций, то тем самым доказано, что исходное дифференциальное уравнение имеет решение в целом при рассматриваемых краевых условиях. Так как прямой метод состоит в построении последовательности функций, сходящейся к искомой функции, то с помощью прямого метода не только устанавливается существование решения в целом, но и даётся некоторый способ для приближённого построения этого решения.

Впервые широко и систематически идея перехода от краевой проблемы для дифференциального уравнения к вариационной краевой проблеме была использована Риманом. Его теоретико-функциональные исследования нуждались в доказательстве разрешимости проблемы Дирихле для любой плоской области, ограниченной одним контуром, то-есть в доказательстве существования функции u(х, у), имеющей внутри области непрерывные производные второго порядка по х и по у и удовлетворяющей уравнению

а на границе этой области совпадающей с заданной непрерывной функцией. Уравнение Лапласа (1) является уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала

который принимает только неотрицательные значения. В силу этого последнего обстоятельства Риман считал очевидным существование у этого функционала минимума, а значит, у уравнения (1) решения, удовлетворяющего упомянутому краевому условию. С этой аргументацией, восходящей к Гауссу и Томсону, Риман познакомился ещё в бытность студентом на лекциях Дирихле и назвал её принципом Дирихле.

Однако умозаключение Римана подверглось уничтожающей критике Вейерштрасса. Эта критика сводится к следующему: из того, что функционал ограничен снизу, вытекает лишь, что он имеет конечную точную нижнюю грань; утверждать же, что эта грань достигается на функции рассматриваемого класса, то-есть что эта нижняя грань есть минимум, вообще говоря, нельзя. Вейерштрасс привёл пример неразрешимой вариационной задачи этого рода, и отвести его возражения было невозможно. Поэтому для спасения замечательных результатов, полученных Риманом с помощью принципа Дирихле, началась усиленная разработка других методов.

Однако из критики Вейерштрасса, носящей общий характер, вовсе, не вытекало, что принцип Дирихле, который касается специального функционала, не может быть обоснован. Поэтому время от времени делались попытки такого обоснования. Существенный сдвиг в этом направлении принадлежит Гильберту, исследования которого были продолжены целой плеядой математиков. Эти исследования привели не только к обоснованию принципа Дирихле в несколько модифицированной форме, но и к созданию вообще прямых методов в вариационном исчислении. Большой вклад в разработку этих методов внесли наши математики Н. Н. Боголюбов, Н. М. Крылов, М. А. Лаврентьев и Л. А. Люстерник.

Переходя к описанию основных этапов, из которых слагается прямой метод, примем для определённости, что речь идёт о минимуме функционала , где С пробегает некоторую совокупность кривых линий. Чтобы задача имела смысл, необходимо предположить, что в совокупности есть кривые, на которых функционал конечен, а также, что

В таком случае, по определению нижней границы, существует такая последовательность (Е) кривых

из (минимизирующая последовательность), что

Первый вопрос, который здесь возникает, — это вопрос о существовании у последовательности (2) предельной кривой. Некоторые условия, при выполнении которых предельная кривая существует, установил впервые Гильберт.

Пусть предельная кривая (назовём её С) существует и принадлежит . Если окажется, что предельный переход

законен, то

и, значит, кривая С даёт абсолютный минимум.

Равенство (2) наверно имело бы место, если бы функционал был непрерывной функцией линии всюду в или хотя бы на С, то-есть если бы неравенство

выполнялось для всякой кривой из некоторой зависящей от окрестности кривой С. Однако , вообще говоря, не является непрерывной функцией линии. К счастью, для доказательства равенства (2), как впервые заметил Лебег, непрерывность функционала вовсе не необходима, а вполне достаточна полунепрерывность снизу .

В самом деле, пусть функционал полунепрерывен снизу и пусть (Е) есть минимизирующая последовательность, а С — её предельная кривая, принадлежащая совокупности Тогда, с одной стороны, по определению

а с другой стороны, в силу полунепрерывности снизу функционала

если лежит в достаточно малой окрестности кривой так как

то при любом

Сравнение (4) и (3) приводит к равенству

которое и выражает, что кривая С доставляет функционалу минимум.

Таким образом, прямой метод состоит из:

1) построения минимизирующей последовательности,

2) доказательства существования у этой последовательности предельной кривой,

3) доказательства полунепрерывности функционала на предельной кривой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление