Главная > Математика > Лекции по вариационному исчислению
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

29. Некоторые вспомогательные рассмотрения.

В силу доказанных в предыдущем параграфе соотношений (6) и (7)

и

Из (2) вытекает, что

Поэтому

Отсюда на основании равномерной сходимости последовательности следует, что

а потому при любом фиксированном с из интервала и достаточно малом и подавно

Так как функция абсолютно непрерывна, то отношение

для почти всех х стремится к при . Поэтому по известной теореме Фату из (3) следует, что функция интегрируема в смысле Лебега и

Отсюда

так как с — произвольная точка интервала .

Неравенства (1) и (4) выражают, что как функции , так и функция принадлежат так называемому пространству .

Теперь мы докажем, что последовательность слабо сходится к . Понятие о слабой сходимости является одним из основных и общих понятой функционального анализа. В нашем случае оно означает, что

какова бы ни была функция , измеримая и удовлетворяющая неравенству

иначе говоря, принадлежащая [причём q определяется равенством (8) п° 28].

Чтобы доказать это свойство, придётся воспользоваться следующим фактом из теории приближённого представления функций: для любой функции можно при любом найти многочлен степени , такой, что

Так как из (1) и (4) следует, что

то по неравенству Гельдера

Поэтому

и достаточно доказать, что для любого многочлена

Но

и подлежащее доказательству равенство (6) вытекает из равномерной сходимости последовательности .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление