2.17. Решение разностных уравнений с применением одностороннего z-преобразования

Разностные уравнения обычно определены при  и имеют набор начальных условий. Поэтому нетрудно понять, каким образом можно использовать одностороннее z-преобразование для нахождения отклика системы на заданную входную последовательность. В качестве примера рассмотрим разностное уравнение первого порядка

                 (2.90)

с начальным условием . Пусть на вход поступает последовательность . Чтобы найти одностороннее z-преобразование , умножим обе части равенства (2.90) на  и просуммируем от 0 до :

                                          (2.91)

Воспользуемся свойством, связанным с задержкой последовательности, описанным в разд. 2.16. Имеем

                               (2.92)

откуда

                                                                  (2.93)

Поскольку

то

                                      (2.94)

Разложив второе слагаемое на простые дроби, получим

         (2.95)

Вычислим обратное z-преобразование от (2.95):

                           (2.96)

Первое слагаемое в скобках представляет собой составляющую отклика, определяемую начальными условиями, а второе — переходную характеристику системы. При  оба эти члена экспоненциально убывают. Третье слагаемое описывает вынужденные колебания в системе.

Вышеизложенное нетрудно обобщить на системы более высокого порядка. В общем случае разностное уравнение -го порядка имеет вид

                            (2.97)

с начальными условиями . [Замечание. Здесь предполагается, что входная последовательность  при .] Вычисляя односторонние z-преобразования от обеих частей уравнения (2.97), получим

  (2.98)

Теперь можно получить выражение для  через , и начальные условия и, взяв обратное z-преобразование, найти отклик .