§ 17. Кинетическое уравнение с учетом тройных столкновений

Для нахождения «ервых поправочных членов к уравнению Больцмана надо вернуться к тем пунктам изложенных в § 16 вычислений, в которых были произведены пренебрежения, и продвинуть точность вычислений на один порядок (по параметру газовости) дальше. Эти пренебрежения относились, прежде всего, к уравнению (16,9), в котором были опущены члены, содержащие тройную корреляцию тем самым были исключены из рассмотрения тройные столкновения атомов. Кроме того, при преобразовании интеграла столкновения (16,12) к окончательному виду (16,16) было пренебрежено изменением функции распределения на расстояниях и за времена тем самым двойные столкновения рассматривались как «локальные» происходящие в одной точке. Теперь должны быть учтены оба эти источника поправок тройные столкновения и «нелокальность» парных столкновений.

В первом приближении цепочка уравнений была оборвана на втором уравнении, связывающем Во втором приближении надо дойти до третьего уравнения, связывающего причем члены с в нем можно опустить (подобно тому, как в первом приближении были опущены члены с в (16,9)). После этого оно сведется к виду

аналогичному прежнему уравнению (16,10) для переменные в (17,1) предполагаются изменяющимися со временем согласно уравнениям движения задачи трех тел (причем взаимодействие между частицами по-прежнему будем считать парным). С учетом статистической независимости частиц перед столкновением решение уравнения (17,1) есть

Величины имеют здесь такой же смысл, что и в (16,11); - это значения координат и импульсов, которые частицы должны иметь в момент для того, чтобы к моменту t попасть в заданные точки фазового пространства. Отличие от (16,11) состоит лишь в том, что теперь являются начальными значениями координат и импульсов задачи трех (а не двух) тел, которую будем считать в принципе решенной.

Для записи и преобразования дальнейших формул целесообразно ввести оператор действие которого на функцию переменных (относящихся к трем частицам в задаче трех тел) заключается в замене этих переменных согласно

Аналогичным образом, оператор 512 будет производить такую же замену в функциях переменных относящихся к двум частицам в задаче двух тел. Важное свойство преобразования (17,3) состоит в том, что при временах оно перестает зависеть от времени. Действительно, при таких частицы находятся далеко друг от друга и движутся свободно с постоянными скоростями при этом значения зависят от времени как и временная зависимость в (17,3) выпадает. Заметим также, что если частицы вообще не взаимодействовали бы, то преобразование (17,3) сводилось бы к тождеству: при свободном (в течение всего времени) движении правые стороны преобразований (17,3) тождественно совпадают с левыми. По той же причине, если одна из частиц, скажем, частица 1, не взаимодействует с частицами 2 и 3, то операторы же в этих условиях сводятся к единице. В силу этих свойств очевидно, что оператор

обращается в нуль, если хотя бы одна из трех частиц не взаимодействует с двумя другими. Другими словами, этот оператор выделяет из функций ту часть, которая связана со взаимодействием всех трех частиц (между Тем как в задачу трех тел входят, как частные случаи, также и парные столкновения при свободно движущейся третьей частице).

С помощью оператора формула (17,2) запишется в виде

где

(сдвиг аргумента в введен для компенсации сдвига, производимого оператором ).

Двухчастичное распределение получим, проинтегрировав функцию по переменным а интегрирование по дает функцию распределения

Цель дальнейшего вычисления состоит в том, чтобы из этих двух равенств (с ) из (17,5)) путем исключения с нужной точностью выразить через . Подставив затем это выражение в уравнение (16,7) (само по себе точное), мы получим искомое кинетическое уравнение.

Для осуществления этой программы, прежде всего, преобразуем интеграл (17,8), выразив в (17,5) оператор 5123 через согласно (17,4). Имея в виду очевидные (в силу сохранения полного числа молекул) равенства

получим

(17,9)

Это уравнение можно решать относительно последовательными приближениями, имея в виду, что первого, второго порядка малости (ср. оценку правой части (16,9)). В нулевом приближении: . В следующих двух приближениях получим

Теперь остается подставить это выражение в (17,5) и затем в (17,7), сохранив при этом лишь члены не более чем второго порядка малости (члены ). В результате получим окончательно

(17,10)

где

(17,11)

Подчеркнем, что порядок следования -операторов в их произведениях существен. Оператор например, сначала заменяет переменные причем функции определяются по уравнениям движения взаимодействующих частиц 2 и 3, а затем переменные подвергаются преобразованию где теперь функции определяются задачей о движении пары взаимодействующих частиц 1 и 2.

Подставив теперь (17,10) в (16,7) и перейдя везде от функций к функциям найдем кинетическое уравнение в виде

(17,12)

где

(17,14)

Первый из этих интегралов есть интеграл двойных, а второй — тройных столкновений. Рассмотрим их структуру детальнее.

В обоих интегралах в подынтегральных выражениях фигурируют функции f, взятые в различных точках пространства. В интеграле двойных столкновений эффект этой «нелокальности» надо выделить в виде поправки к обычному (больцмановскому) интегралу. Для этого разложим в нем медленно меняющиеся (на расстояниях ) функции по степеням разности .

Поскольку эти функции стоят в подынтегральном выражении под знаком оператора рассмотрим сначала величины , в которые этот оператор преобразует переменные .

Центр инерции двух частиц движется (в задаче двух тел) равномерно; поэтому оператор эту сумму не меняет. С учетом этого обстоятельства пишем

Разложив теперь функции

по с точностью до членов первого порядка, получим

(17,15)

где

(17,17)

(дифференцирования по производятся при постоянном или ).

Интеграл (17,16) совпадает с (16,12); в § 16 было показано, каким образом (путем выполнения одного из трех интегрирований по пространственным координатам) этот интеграл приводится к обычному больцмановскому виду.

Обратимся к интегралу тройных столкновений (17,14). Учет «нелокальности» в этом интеграле был бы превышением над принятой здесь точностью, так как сам этот интеграл уже является малой поправкой.

Поэтому в аргументах трех функций f в нем надо положить все радиус-векторы одинаковыми (совпадающими с ) и, сверх того, считать, что оператор на эти переменные вообще не действует:

Рассмотрим несколько более детально структуру оператора с целью уяснения характера процессов столкновений, учитываемых интегралом (17,18).

Прежде всего, оператор (как и оператор ) обращается в нуль, если хотя бы одна из трех частиц не взаимодействует с остальными. В число процессов, для которых входят, однако, не только тройные (в буквальном смысле этого слова) столкновения, но и совокупности нескольких двойных.

Рис. 5.

В истинных тройных столкновениях три частицы одновременно вступают в «сферу взаимодействия», как это схематически изображено на рис. 5, а. Но оператор отличен от нуля также и для таких процессов «тройных взаимодействий», которые сводятся к трем последовательным двойным столкновениям, причем одна из пар частиц сталкивается между собой дважды; пример такого процесса схематически изображен на рис. 5, б (для этого процесса так что оператор сводится к ).

Более того, оператором учитываются также и случаи, когда одно (или более) из трех столкновений является «воображаемым», т. е. возникающим, лишь если не учитывать влияния на траекторию частиц какого-либо из реальных столкновений. Пример такого процесса изображен на рис. 5, в: столкновение 1—3 имело бы место лишь в отсутствие искажения траектории частицы 3 ее столкновением с частицей 21) (для этого процесса но так что сводится к ).

Подобно тому, как преобразовывался в § 16 интеграл может быть выполнено одно из шести интегрирований по координатам в интеграле тройных столкновений; при этом потенциал взаимодействия в явном виде исчезает из формул.