12. Построение поля.

Возьмём какое-нибудь n-параметрическое семейство экстремалей:

или коротко

и примем, что оно просто покрывает некоторую область D в пространстве переменных то-есть что через каждую точку этой области проходит одна и только одна экстремаль семейства. Таким образом, формулы (1) определяют некоторое точечное множество R в пространстве переменных которое этими формулами переводится в область D.

Мы примем, что R есть односвязная область и что функции в этой области дважды непрерывно дифференцируемы. Кроме того, мы примем, что всюду в области R

Решая уравнения (1) относительно , получим дважды непрерывно дифференцируемые функции в области

(3)

или коротко

Через каждую точку области D проходит одна и только одна экстремаль семейства (1). Найдём её наклон в рассматриваемой точке. Для этого нужно продифференцировать формулы (1) по и затем из правых частей исключить с помощью формул (3). Таким образом, мы получим:

Теперь мы можем сформулировать задачу настоящего параграфа. Она состоит в нахождении условий, необходимых и достаточных для того, чтобы область вместе с вектор-функцией

являлась полем для рассматриваемого нами функционала. Так как функция (4) непрерывно дифференцируема в области D, то вопрос сводится к выяснению условий, при которых интеграл Гильберта, построенный с помощью вектор-функции будет для любого пути интегрирования зависеть лишь от его концов.

Представляется целесообразным преобразовать интеграл Гильберта к переменным После простых вычислений, учитывая, что

получим для интеграла Гильберта представление

где L есть путь в области Я, отвечающий пути С в области D. Чтобы интеграл (5) зависел только от концов пути, необходимо, а в силу односвязности области и достаточно, чтобы подиитёгральное выражение было полным дифференциалом. Таким образом, искомые условия сводятся к n равенствам

и равенствам

Выполняя дифференцирование, перепишем (6) в виде

Отсюда

где вместо символа мы ввели принимая вновь величины за постоянные. Эти условия выполняются автоматически, так как кривые (1) являются экстремалями.

Обратимся теперь к условиям (7). Выполняя в них дифференцирование, получаем:

Придадим этим условиям другую форму, для чего присоединим к величинам дальнейшие канонические переменные

Выражая эти переменные через а; и В с помощью формулы (1), получим -параметрическое семейство функций

Пользуясь выражениями (1), (8), перепишем условия (7) в виде

Левую часть формулы (9) называют скобкой Лагранжа и обозначают символом

Итак, поставленная нами выше задача решена. Искомые условия (необходимые и достаточные) состоят в тождественном равенстве нулю всех скобок Лагранжа, составленных с помощью отвечающего семейству экстремалей (1) n-параметрического семейства (1), (8) канонических переменных.

n-параметрическое семейство экстремалей (1), для которого все скобки Лагранжа равны нулю, называют майеровым семейством.

Таким образом, n-параметрическое семейство экстремалей, удовлетворяющее перечисленным в начале настоящего параграфа условиям, порождает поле в том и только в том случае, если оно майерово.

При всякое однопараметрическое семейство экстремалей является майеровым.

Для проверки, является ли -параметрическое семейство экстремалей майеровым, весьма полезна следующая Теорема Лагранжа. Если величины

зависящие от х и параметров удовлетворяют каноническим уравнениям

то все скобки Лагранжа, составленные с помощью этих величин, от х не зависят.

Значение этой теоремы состоит в том, что в силу неё достаточно проверить обращение скобок Лагранжа в нуль лишь для одной точки

Доказательство получается простым дифферент цированием:

Пример. Если все экстремали (1) выходят из одной точки (которая, конечно, не может быть внутренней для D), то величины

от не зависят. Поэтому

и, значит, все скобки Лагранжа в точке обращаются в нуль. На основании доказанной теоремы скобки Лагранжа равны нулю тождественно и семейство экстремалей майерово. Это семейство, следовательно, порождает поле — так называемое центральное поле.