20.136. Кватернионы, геометрия и физика

Может быть, в момент открытия Гамильтон увидел, что кватернионы будут заслуживать его внимание всю его жизнь, но сначала даже его лучшие друзья были настроены скептически. 26 октября 1843 года Джон Грейвс написал ему:

Должно быть, вы были очень дерзко настроены, чтобы дать начало счастливой идее, что может быть отлично от Есть ли у вас какой-нибудь представление о существовании в природе процессов, или операций, или явлений, или концепций, аналогичных кругообороту

И получив письмо от Гамильтона, где он дал понять о возможности применения в физике и заявил, что кватернионы, несомненно, можно использовать, чтобы вывести теоремы сферической тригонометрии, Грейвс ответил:

Все же в системе есть нечто, что приводит меня в замешательство. У меня до сих пор нет таких-либо ясных взглядов относительно меры, до которой мы вправе произвольно создавать мнимые числа и наделять их сверхъестественными свойствами. Но предположим, что ваши символы имеют свои физические антитипы, которые могли привести вас к кватернионам, какое право имеете вы на такую удачу, получив свою систему таким изобретательным методом так ваш?

[Другие письма см. в биографии Гамильтона, написанной братом Грейвса, Робертом: Грейвс (1975), т.3, с.443.]

Конечно, вопрос Грейвса об удаче был ироническим, но это все же хороший вопрос. Многие математики и физики поражались правомерности применения чистой математики, чтобы теория чисел и алгебра

стали геометрией и физикой. В случае кватернионов будущее сулило еще больше сюрпризов.

Правда заключалась не только в том, что кватернионы имели скрытый смысл для сферической геометрии, их геометрический аспект уже был открыт дважды раньше! Первом открытием была неопубликованная работа Гаусса (1819) о вращениях сферы, о которой Гамильтон мог не знать; вторым была публикация Родригеса (1840), которая (типично) ускользнула от его внимания.

Результат Гаусса объяснить легче всего, потому что мы уже говорили о нем в разделе 18.6: всякое вращение сферы можно выразить комплексной функцией вида

Любую такую функцию можно представить матрицей ее коэффициентов

и легко проверить, что матрица произведение матриц для Поэтому вращения сферы можно изучать через произведения матриц указанного выше типа, включая пары комплексных чисел Такую матрицу также можно записать в виде четырех действительных параметров если мы положим

И тогда результирующую матрицу мы можем записать так линейную комбинацию четырех особых матриц с коэффициентами

Четыре особые матрицы играют роль в кватернионах, потому что

Действительно, те же матрицы были открыты Кэли (1858), который предложил их так новую реализацию кватернионов. Сегодня, они часто известны так матрицы Паули, особенно, в физике. Они вновь были открыты в квантовой теории, где вращения сферы также важны.

Упражнения

(см. скан)