5.30. Определение аналитической функции от z.

Пусть и какие-либо функции от и у. Тогда комбинация является функцией комплексного переменного в том смысле, что данному (т. е. соответствует одно или более значений понятие является слишком общим для его применения. Поэтому мы ограничимся рассмотрением класса аналитических функций, которые мы ниже определим.

Простой дугой называется дуга, которая сама себя не пересекает и является спрямляемой, т. е. имеет определенную длину. Простой

замкнутой кривой называется замкнутая кривая, которая делится любой парой точек на две простые дуги.

Пусть задана простая замкнутая кривая (или контур) С в плоскости и функция (рис. 84). Говорят, что функция является аналитической внутри контура С, если она удовлетворяет следующим условиям.

Рис. 84.

а) Каждому значению внутри С соответствует одно и только одно значение и это значение конечно (т. е. модуль этой функции не бесконечен). Короче, конечная и однозначная функция внутри С.

б) Для каждого значения внутри С функция имеет однозначную конечную производную по

Исследуем условие б).

Так как то любая функция от и у является функцией от Например, если и — заданные функции, то

С другой стороны,

Следовательно,

Но выражение

является неопределенным, так как могут стремиться к нулю независимо друг от друга.

Следовательно, определенная производная может существовать только в том случае, если

Таким образом, аналитическая функция комплексного переменного не должна зависеть от т. е.

Предположим теперь, что и что так как

и

то мы имеем

Отсюда

Эти условия известны как уравнения Коши-Римана. Они являются необходимыми, но недостаточными. Достаточные условия получаются путем добавления к уравнениям (1) следующих условий:

Таким образом, условие вместе с условием (2) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы функция была аналитической функцией.

Очевидными примерами аналитических функций являются функции . В последнем случае надо исключить точки, в которых . С другой стороны, не является аналитической функцией так как следовательно, содержит