14.11. Кинематическое условие на свободной поверхности.

Рассмотрим слой воды глубины в котором распространяются волны высоты над средним уровнем, причем высота измеряется от невозмущенного уровня и ось направлена вдоль дна в направлении распространения волны.

Рис. 262.

Тогда уравнение свободной поверхности будет иметь вид но так

как поверхность движется вместе с жидкостью, то отсюда имеем:

Мы будем в дальнейшем рассматривать линейную теорию (если явно не указано противоположное), согласно которой можно пренебречь квадратами и произведениями всех величин и их производных. В частности, величина измеряющая наклон профиля волны, будет считаться малой. Тогда на свободной поверхности мы получим равенство

где - функция тока. Полученное равенство представляет собой кинематическое условие на свободной поверхности для волновых профилей малой высоты и наклона.

Из уравнения (1) следует, что в случае безвихревых волн, имеющих профиль

функция тока при пропорциональна величине На этом основании попытаемся найти решение уравнения (1) в виде комплексного потенциала

Тогда на свободной поверхности получим при нашей степени приближения. Подстановка этой величины в уравнение (1) приводит к равенству

так что

где скорость распространения волны.

Следует заметить, что не было сделано никаких предположений относительно условий, которые имеют место выше профиля волны, следовательно, формула (3) справедлива в том случае, если профиль является поверхностью раздела между двумя жидкостями.