19.76. Подъемная сила и сила сопротивления.

Согласно формуле (3) из п. 19.74, сила, действующая на крыло, представляется так:

где

По формулам (1), (4) и (13) из п. 19.75 имеем

где

Но поскольку то (2)

Далее, с точностью до членов первого порядка

а по уравнению неразрывности следовательно,

Введем обозначение

величина представляет собой приток жидкости внутрь поверхности 2, связанный с произвольным решением этот приток в основном происходит в области вихревого следа.

Далее, векторная циркуляция по поверхности 2 будет равна

Первые два интеграла в правой части этого равенства дают векторные циркуляции, соответствующие скоростям безвихревых движений, и, согласно п. 19.70, должны обращаться в нуль. Таким образом, можно считать, что где — векторные циркуляции, соответствующие скоростям Наконец, положим тогда в силу формул (1), (2) и (3)

где

Докажем теперь, что Поскольку то формула (IV) из п. 2.32 дает

и

Так как удовлетворяет уравнению (7) из п. 19.75, то

Следовательно, существует некоторая скалярная функция , такая, что

значит,

Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль в соответствии с формулой (5) из п. 19.70, a по формуле (2) из п. 19.75; тогда

и

и, следовательно,

Возвращаясь к выражению (5), можно показать, что когда радиус сферы 2 стремится к бесконечности. Этот результат представляет собой простое следствие из выражений для приведенных в п. 19.75, и вывод его мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

Теперь получим из равенства (4) асимптотический результат где

Сила перпендикулярна к скорости V и является подъемной силой, а сила силой сопротивления. Точность этих результатов тем лучше, чем больше радиус сферы 2. Они представляют собой обобщение теоремы Кутта — Жуковского для невязкой жидкости и формулы Филона для плоского движения вязкой жидкости. Здесь векторная циркуляция по поверхности , обусловленная скоростью приток жидкости в вихревой след, обусловленный скоростью

Чтобы упростить выражение для положим тогда

Введя обозначение получим

Отсюда при что приводит к следующему выражению для подъемной силы:

Этот результат подтверждает приведенное в п. 19.75 утверждение, что подъемная сила будет равняться нулю, когда обе величины обращаются в нуль.

Из полученных выше результатов можно показать, что составляющие подъемной силы определяются циркуляциями по кругам достаточно большого радиуса, представляющим собой сечения сферы 2 диаметральными плоскостями Циркуляция же по любому замкнутому контуру, не охватывающему кормовой вихревой след, равна нулю.