6. Линейная зависимость и независимость векторов.

Пусть линейное пространство,

— векторы из

Определение. Векторы (6.1) называются линейно-независимыми, если равенство

возможно только тогда, когда

Векторы (6.1) называются линейно-зависимыми, если существуют такие числа не все равные нулю, что имеет место равенство (6.2).

Примеры. 1. Если то линейно зависимы:

2. Векторы (5 1) линейно независимы. Действительно, пусть

Тогда, учитывая, что вектор равен левой части равенства (6 3), получаем

А это значит, что

3 Пусть векторы (5 1). Тогда векторы линей зависимы

Действительно, пусть

Тогда

4. Векторы (5.3) линейно независимы в Действительно, равенство (6 2) в данном случае имеет вид

причем это равенство следует понимать как тождественное равенство нулю, т. е. равенство нулю при всех Считая для определенности, что и полагая в получим Дифференцируя левую и правую части равенства (6 4) к раз и полагая затем получаем

5. Очевидно, векторы (5 3) и (5 4) линейно зависимы в

(см. скан)