Глава 9. ТИПОЛОГИЧЕСКОЕ АГРЕГИРОВАНИЕ ДАННЫХ О ПРЕДПОЧТЕНИЯХ

9.1. ВВЕДЕНИЕ

9.1.1. Данные и отношения предпочтения

Часто приходится иметь дело с данными о предпочтениях:

в торговле — в процедурах проверки качества товаров;

в управлении — в мультикритериальных задачах;

в психологии — в анализе анкет;

в политике — в задачах, связанных с голосованием, и т. д. В общем случае можно представить эти данные в виде взвешенного семейства отношений предпочтения:

где конечное множество судей, критериев, индивидуумов, производящих опрос, избирателей, Элементы множества в дальнейшем будут называться судьями;

- положительный вес, связанный с судьей

- конечное множество продуктов, которые нужно сравнить между собой, решений, которые требуется принять, событий, среди которых нужно выбрать одно, кандидатов на выборах; элементы множества X будем называть объектами;

- антисимметричное отображение в Оно выражает предпочтения судьи относительно объектов из Таким образом, обозначает степень предпочтения объекта х объекту эта степень тем больше, чем ближе к Отображение будем называть отношением предпочтения.

Эта модель предусматривает сравнение каждым судьей объектов по парам в протоколе сравнения пар. Например, можно положить:

если объект х намного предпочтительнее объекта если объект х немного предпочтительнее объекта если нельзя отдать предпочтения ни ни у. , если объект у немного предпочтительнее объекта если объект у намного предпочтительнее объекта х. Часто предпочтения являются строгими без нюансов, и индивидуальные предпочтения судей выражаются двумя непересекающимися отношениями на X:

отношением асимметричным, обозначающим строгие предпочтения;

отношением симметричным, указывающим на неразличимость, так что для каждой пары объектов имеем:

или

или

Иначе, отношения могут быть выражены отношением предпочтения называемым сигнатурой отношения и определяемым так:

Изучение всех пар объектов становится утомительной задачей, когда число сравниваемых объектов возрастает. Но часто оказывается возможным выразить индивидуальные предпочтения в терминах классификации, допускающей неразличимость объектов. Классификация определяется заданием упорядоченного разбиения которое для наглядности записывается в виде

Оно выражает следующие отношения строгого предпочтения и неразличимости

х строго предпочтительнее у, если неразличимы, если существует такое, что и характеризует такое отношение которое является отношением предпорядка на X (см. [2]).

В тех случаях, когда нет неразличимых объектов, т. е. когда каждый класс сводится к одному элементу, что наглядно выражается в виде

это отношение является отношением порядка на X (см. [2]). На практике классификацию часто определяют, приписывая значимость каждому х и полагая

где различные значения значимости. Классификацию объектов можно, впрочем, получить каноническим способом, исходя из любого отношения предпочтения и вычисляя функцию значимости для по формуле

В случае когда является сигнатурой предпорядка верно и обратное утверждение, что классификация, связанная с позволяет восстановить отношение

Более богатый запас моделей, чем предпорядки, можно также получить, исходя из и вводя порог Положим:

х строго предпочтительнее у, если ;

х и у неразличимы, если тогда получим отношение которое является квазипорядком на

Другие типы условия также могут быть введены в терминах отношений предпочтения. Например, свойство транзитивности выражает согласованность в предпочтениях.

Стохастическая транзитивность:

Соответствует определению семейства вложенных квазипорядков [15], [26].

Размытая транзитивность:

Слабая транзитивность: Соответствует понятию совместимости с отношением порядка на [18], [8].