Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 12. Упрощение дифференциального уравнения в окрестности одного седлаПокажем, что с помощью замены переменных в уравнении
можно избавиться от некоторых групп членов разложения в ряд Прежде всего, заметим, что если за оси координат
где Покажем, что если X не рациональное число, то, каковы бы ни были целые положительные числа
Обозначим через
так, чтобы она удовлетворяла уравнению в частных производных
Функцию а(х, у) можно представить в виде
где
откуда находим обладают и функции
где правая часть — функция, регулярная при Определив последовательно члены
Если в (17) заменить
где Положим
Представив
будем искать решение (20) в виде
где
Функция сходящегося при
Правую часть этого соотношения обозначим
Если в уравнении (20) вместо
Положим
Вместо переменного у введем новое переменное
Функция К(х, у) имеет вид
Обозначим через предварительно у его выражением через
В уравнении (22) сделаем замену переменного (23); обозначив через
или
Так как это уравнение имеет решение
Следовательно, замена переменного (23) приводит уравнение (15) к виду (16). Замечание 1. Замена переменного (23) возможна только при таких достаточно малых Замечание 2. Уравнение (15), в частности, можно привести к виду
если заменить
Введем новое переменное и, определив его из уравнения
Взяв с достаточно малым, заменяя
где
|
1 |
Оглавление
|