ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

— метод статистических исследований, основанный на последовательном (пошаговом) принятии статистических решений. Классическая постановка таких задач принятия статистических решений, как различение статистических гипотез (см. Статистическая проверка гипотез) и нахождение точечных и интервальных оценок неизвестных параметров (см. Статистические оценки), предполагала заранее фиксированное число наблюдений (фиксированный объем выборки). В то же время вполне возможен и последовательный подход к решению этих задач, при котором число наблюдений (объем выборки) заранее не фиксируется, а определяется в процессе испытаний. Впервые последовательный подход был использован в задаче приемочного статистического контроля в 1929 г. Во время 2-й мировой войны амер. математик А. Вальд построил теорию П. а. применительно к вопросу различения статистических гипотез и сформулировал общую задачу последовательного оценивания. Осн. идея последовательного оценивания неизвестного параметра состоит в том, чтобы производить наблюдение до тех пор, пока не станет возможным получить оценку с заданной степенью точности, не зависящей от неизвестного значения оцениваемого параметра. Позднее результаты по последовательному различению статистических гипотез и последовательному оцениванию получили дальнейшее развитие. Выяснилось, что во многих статистических задачах применение П. а. дает существенную экономию в числе наблюдений (иногда до 50% и более) по сравнению с классическими методами.

Последовательный подход можно проиллюстрировать на примере последовательного критерия отношения правдоподобия для различения двух простых гипотез относительно случайной величины с дискретным распределением. Рассмотрим случайную величину с дискретным распределением вероятностей Неизвестный параметр может принимать два значения Пусть является гипотезой о том, что , а — гипотезой о том, что Обозначим последовательные (независимые) наблюдения случайной величины через Для любого положительного целого числа вероятность получения выборки определяется выражением

когда справедлива гипотеза и выражением

когда справедлива гипотеза Отношение правдоподобия, основанное на первых

наблюдениях, имеет вид

Последовательный критерий отношения правдоподобия для различения На и определяется следующим образом. Выбираются две постоянные такие, что Производится последовательная выборка На каждом шаге вычисляется отношение правдоподобия, его значение сравнивается с числами А и В и выбирается одно из трех решений: принять гипотезу , принять гипотезу или продолжить наблюдения. Напр., на m-м шаге: а) если то наблюдения прекращают и принимают гипотезу если , то наблюдения прекращают и принимают гипотезу Н, в) если то производят следующее, наблюдение. Постоянные А и В наз. граничными точками последовательного критерия отношения правдоподобия. На практике более удобно вычислять нежели можно представить в виде суммы слагаемых

Обозначим

Теперь на каждом шаге вычисляем . Если , то наблюдения прекращают и принимают гипотезу если , то наблюдения прекращают и принимают гипотезу если , то производят следующее, наблюдение. Пусть — число наблюдений до принятия одной из гипотез ( — случайная величина). Возникает вопрос о том, при каких условиях описанная выше процедура оканчивается за конечное число шагов с вероятностью 1. Если при обеих гипотезах и то последовательный критерий отношения правдоподобия оканчивается с вероятностью 1 за конечное число шагов как при и при При этом где символ математического ожидания, вычисленного в предположении, что справедлива гипотеза Величина средним объемом выборки последовательного критерия отношения правдоподобия при условии, что справедлива гипотеза При последовательном подходе к решению задачи, как и при различении гипотез по выборкам фиксированного объема, возникают ошибки двух видов. Пусть а — вероятность того, что гипотеза будет отвергнута, когда она верна, вероятность принятия гипотезы когда верна гипотеза Пара силой последовательного критерия. Требуется по заданным вероятностям ошибок определить граничные точки последовательного критерия отношения правдоподобия , обеспечивающие критерию силу . Определение точных значений , как правило, сопряжено с большими трудностями. Однако, справедливы неравенства, связывающие величины и позволяющие находить прибл. значения граничных точек: 1) если последовательный критерий отношения правдоподобия с граничными точками А и В имеет силу , то

2) если при выборе последовательный критерий отношения правдоподобия имеет силу , то

Из неравенств (1) видно, что величина — является верхней границей для , а величина границей для . Из (1) можно получить неравенства

которых видно, что при заданных граничных точках последовательного критерия отношения правдоподобия А и В вероятности ошибок не превосходят величин и В соответственно. Из неравенств (2) следует, что в случае малых практике, как правило, выбираются в диапазоне , применяя последовательный критерий отношения правдоподобия с граничными точками вместо соответственно, получаем вероятноств ошибок , весьма близкие к . При этом справедливо по крайней мере одно из неравенств . Можно доказать, что последовательный критерий отношения правдоподобия лучше критерия с фиксированным объемом выборки в том смысле, что средний объем выборки для первого из них меньше, чем фиксированный объем для второго при условии, что оба критерия имеют одну и ту же силу . Более того, по сравнению с любой другой последовательной процедурой с заданной силой последовательный

критерий отношения правдоподобия имеет наименьший средний объем выборки.

В наст, время П. а. как метод статистических исследований получил широкое распространение. Идеи его оказали значительное влияние на формирование новых матем. методов и теорий, таких, как теория статистических решений, управления случайными процессами теория, последовательный анализ вариантов, существенный вклад в развитие которых внесли сов. математики А. Н. Колмогоров, В. С. Михалевич, А. Н. Ширяев и др.

Лит.: Михалевич В. С. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. «Кибернетика», 1965, Ni 1-2; Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки. М., 1969 [библиогр. 227-231 ]; Вальд А. Последовательный анализ. Пер. с англ. М., 1960; Вальд А. Статистические решающие функции. В кн.: Позиционные игры. М., 1967.

Э. С. Штатланд.