ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА МЕТОД

— метод исследования динамических систем, основанный на изучении возможных движений системы в фазовом пространстве. Фазовым пространством (простр. состояний) наз. пространство переменных динамической системы, описываемой дифф. уравнениями

Здесь зависимые переменные, t — независимая переменная ф-ции. удовлетворяющие при заданных для начальных значениях

условиям существования решений

В пространстве значения функций (3) представляют координаты изображающей точки, которая при изменении времени t (если его рассматривать как параметр) описывает фазовую траекторию. Совокупности всех возможных начальных значений отвечает совокупность фазовых траекторий, образующая в пространстве фазовую картину движения.

Точки фазового пространства, для которых особыми точками и изображают состояния равновесия системы. Особые точки могут быть изолированными либо составлять некоторую область (напр., отрезок или пластинку). Замкнутые фазовые траектории, для которых

изображают периодические движения системы периода и могут быть изолированными либо образовывать некоторую область (напр., кольцо или тор). Особые точки и замкнутые траектории могут быть устойчивыми или неустойчивыми, в зависимости от того, служат они элементами притяжения или отталкивания для окрестных траекторий. Поверхности в фазовом пространстве, которые служат элементами притяжения или отталкивания для всех окрестных траекторий, наз. сепаратрисными.

Ф. п. м. состоит в определении фазовых траекторий либо всей фазовой картины движения, характеризующей такие свойства системы, как существование и устойчивость установившихся движений, характер переходных движений и др. Метод наиболее нагляден, если система (1) имеет второй порядок, для которой фазовое пространство — плоскость.

Пусть система описывается уравнениями

где — постоянные коэффициенты; члены, обращающиеся в начале координат в нуль по крайней мере как бесконечно малые второго порядка. Обозначим через корни характеристического уравнения

Франц. математик А. Пуанкаре (1854—1912) показал, что система (4) может иметь особые точки следующих типов: 1) устойчивый узел (если и вещественные отрицательные), в который апериодически вливаются окрестные траектории; 2) неустойчивый узел (если и вещественные положительные), от которого траектории апериодически расходятся; 3) устойчивый фокус (если I, и — комплексные с отрицательными вещественными частями), на который траектории наматываются спиралями; 4) неустойчивый фокус (если и — комплексные с положительными вещественными частями), с которого траекторив разматываются спиралями; 5) седло вещественные разных знаков), в которое входят две и из которого выходят две траектории, а остальные траектории с ним не соприкасаются; 6) возможен фокус или центр (если и - чисто мнимые), в зависимости от вида ф-ций Р и Q; в том случае, если особая точка — центр, ее окружают замкнутые траектории, вложенные друг в друга (рис. 1). Изолированные замкнутые траектории Пуанкаре назвал предельными циклами (рис. 2).

Если то система (4) линейна, типы ее особых точек сохраняются, характерные для них траектории охватывают всю плоскость в случае чисто мнимых корней имеется определенно центр, предельных циклов быть не может. Если Р и Q — кусочнолинейные функции, то система (4) представляет собой ряд подсистем линейных дифф. уравнений, каждая из которых справедлива в определенной области плоскости в каждой области фазовые траектории

могут быть определены как часть траекторий соответствующей линейной системы; сшиванием траекторий, принадлежащих отдельным областям определяются траектории на всей плоскости . Для построения фазовых траекторий используют также графические и графо-аналитические методы и методы моделирования.

Поведение решений нестационарных и неавтономных систем дифф. уравнений, правые части которых зависят явно от времени t, определяется на мн-ве моментов времени мн-ве состояний X; в этом случае под фазовым пространством ( простр. событий) понимают мн-во .

1. Типы особых точек! а — устойчивый узел; б - неустойчивый узел; в — устойчивый фокус; г — пространством (простр. событий) понимают мн-во неустойчивый фокус; д — седло; е — центр.

2. Предельные циклы: а — неустойчивый: б — устойчивый.

Лит.: Немыцкий В. В., Степанов в. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.- Л., 1949 [библиогр. с. 541—546]; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. 9. Теория колебаний. М., 1959 [библиогр. с. 905—912]; Нелепин Р. А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л., 1967 [библиогр. с. 438—447]; Флюгге-Лотц И. Метод фазовой плоскости в теории релейных систем. Пер. с англ. М., 1959. Р. А. Нелепин.