ÔÀÇÎÂÎÃÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÌÅÒÎÄ
— ìåòîä èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, îñíîâàííûé íà èçó÷åíèè âîçìîæíûõ äâèæåíèé ñèñòåìû â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì (ïðîñòð. ñîñòîÿíèé) íàç. ïðîñòðàíñòâî ïåðåìåííûõ

äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé äèôô. óðàâíåíèÿìè
Çäåñü
çàâèñèìûå ïåðåìåííûå, t — íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ
ô-öèè. óäîâëåòâîðÿþùèå ïðè çàäàííûõ äëÿ
íà÷àëüíûõ çíà÷åíèÿõ
óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé
 ïðîñòðàíñòâå
çíà÷åíèÿ ôóíêöèé (3) ïðåäñòàâëÿþò êîîðäèíàòû èçîáðàæàþùåé òî÷êè, êîòîðàÿ ïðè èçìåíåíèè âðåìåíè t (åñëè åãî ðàññìàòðèâàòü êàê ïàðàìåòð) îïèñûâàåò ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ. Ñîâîêóïíîñòè âñåõ âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé îòâå÷àåò ñîâîêóïíîñòü ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, îáðàçóþùàÿ â ïðîñòðàíñòâå
ôàçîâóþ êàðòèíó äâèæåíèÿ.
Òî÷êè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, äëÿ êîòîðûõ
îñîáûìè òî÷êàìè è èçîáðàæàþò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû. Îñîáûå òî÷êè ìîãóò áûòü èçîëèðîâàííûìè ëèáî ñîñòàâëÿòü íåêîòîðóþ îáëàñòü (íàïð., îòðåçîê èëè ïëàñòèíêó). Çàìêíóòûå ôàçîâûå òðàåêòîðèè, äëÿ êîòîðûõ
èçîáðàæàþò ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ñèñòåìû ïåðèîäà
è ìîãóò áûòü èçîëèðîâàííûìè ëèáî îáðàçîâûâàòü íåêîòîðóþ îáëàñòü (íàïð., êîëüöî èëè òîð). Îñîáûå òî÷êè è çàìêíóòûå òðàåêòîðèè ìîãóò áûòü óñòîé÷èâûìè èëè íåóñòîé÷èâûìè, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñëóæàò îíè ýëåìåíòàìè ïðèòÿæåíèÿ èëè îòòàëêèâàíèÿ äëÿ îêðåñòíûõ òðàåêòîðèé. Ïîâåðõíîñòè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðûå ñëóæàò ýëåìåíòàìè ïðèòÿæåíèÿ èëè îòòàëêèâàíèÿ äëÿ âñåõ îêðåñòíûõ òðàåêòîðèé, íàç. ñåïàðàòðèñíûìè.
Ô. ï. ì. ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ôàçîâûõ òðàåêòîðèé ëèáî âñåé ôàçîâîé êàðòèíû äâèæåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùåé òàêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû, êàê ñóùåñòâîâàíèå è óñòîé÷èâîñòü óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé, õàðàêòåð ïåðåõîäíûõ äâèæåíèé è äð. Ìåòîä íàèáîëåå íàãëÿäåí, åñëè ñèñòåìà (1) èìååò âòîðîé ïîðÿäîê, äëÿ êîòîðîé ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî — ïëîñêîñòü.
Ïóñòü ñèñòåìà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè
ãäå
— ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû;
÷ëåíû, îáðàùàþùèåñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò â íóëü ïî êðàéíåé ìåðå êàê áåñêîíå÷íî ìàëûå âòîðîãî ïîðÿäêà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
Ôðàíö. ìàòåìàòèê À. Ïóàíêàðå (1854—1912) ïîêàçàë, ÷òî ñèñòåìà (4) ìîæåò èìåòü îñîáûå òî÷êè ñëåäóþùèõ òèïîâ: 1) óñòîé÷èâûé óçåë (åñëè è
âåùåñòâåííûå îòðèöàòåëüíûå), â êîòîðûé àïåðèîäè÷åñêè âëèâàþòñÿ îêðåñòíûå òðàåêòîðèè; 2) íåóñòîé÷èâûé óçåë (åñëè è
âåùåñòâåííûå ïîëîæèòåëüíûå), îò êîòîðîãî òðàåêòîðèè àïåðèîäè÷åñêè ðàñõîäÿòñÿ; 3) óñòîé÷èâûé ôîêóñ (åñëè I, è — êîìïëåêñíûå ñ îòðèöàòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè), íà êîòîðûé òðàåêòîðèè íàìàòûâàþòñÿ ñïèðàëÿìè; 4) íåóñòîé÷èâûé ôîêóñ (åñëè è — êîìïëåêñíûå ñ ïîëîæèòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè), ñ êîòîðîãî òðàåêòîðèâ ðàçìàòûâàþòñÿ ñïèðàëÿìè; 5) ñåäëî
âåùåñòâåííûå ðàçíûõ çíàêîâ), â êîòîðîå âõîäÿò äâå è èç êîòîðîãî âûõîäÿò äâå òðàåêòîðèè, à îñòàëüíûå òðàåêòîðèè ñ íèì íå ñîïðèêàñàþòñÿ; 6) âîçìîæåí ôîêóñ èëè öåíòð (åñëè
è
- ÷èñòî ìíèìûå), â çàâèñèìîñòè îò âèäà ô-öèé Ð è Q; â òîì ñëó÷àå, åñëè îñîáàÿ òî÷êà — öåíòð, åå îêðóæàþò çàìêíóòûå òðàåêòîðèè, âëîæåííûå äðóã â äðóãà (ðèñ. 1). Èçîëèðîâàííûå çàìêíóòûå òðàåêòîðèè Ïóàíêàðå íàçâàë ïðåäåëüíûìè öèêëàìè (ðèñ. 2).
Åñëè
òî ñèñòåìà (4) ëèíåéíà, òèïû åå îñîáûõ òî÷åê ñîõðàíÿþòñÿ, õàðàêòåðíûå äëÿ íèõ òðàåêòîðèè îõâàòûâàþò âñþ ïëîñêîñòü
â ñëó÷àå ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé èìååòñÿ îïðåäåëåííî öåíòð, ïðåäåëüíûõ öèêëîâ áûòü íå ìîæåò. Åñëè Ð è Q — êóñî÷íîëèíåéíûå ôóíêöèè, òî ñèñòåìà (4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä ïîäñèñòåì ëèíåéíûõ äèôô. óðàâíåíèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñïðàâåäëèâà â îïðåäåëåííîé îáëàñòè
ïëîñêîñòè
â êàæäîé îáëàñòè ôàçîâûå òðàåêòîðèè
ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû êàê ÷àñòü òðàåêòîðèé ñîîòâåòñòâóþùåé ëèíåéíîé ñèñòåìû; ñøèâàíèåì òðàåêòîðèé, ïðèíàäëåæàùèõ îòäåëüíûì îáëàñòÿì îïðåäåëÿþòñÿ òðàåêòîðèè íà âñåé ïëîñêîñòè
. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé èñïîëüçóþò òàêæå ãðàôè÷åñêèå è ãðàôî-àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû è ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ.
Ïîâåäåíèå ðåøåíèé íåñòàöèîíàðíûõ è íåàâòîíîìíûõ ñèñòåì äèôô. óðàâíåíèé, ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ çàâèñÿò ÿâíî îò âðåìåíè t, îïðåäåëÿåòñÿ íà ìí-âå ìîìåíòîâ âðåìåíè
ìí-âå ñîñòîÿíèé X; â ýòîì ñëó÷àå ïîä ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ( ïðîñòð. ñîáûòèé) ïîíèìàþò ìí-âî
.
1. Òèïû îñîáûõ òî÷åê! à — óñòîé÷èâûé óçåë; á - íåóñòîé÷èâûé óçåë; â — óñòîé÷èâûé ôîêóñ; ã — ïðîñòðàíñòâîì (ïðîñòð. ñîáûòèé) ïîíèìàþò ìí-âî
íåóñòîé÷èâûé ôîêóñ; ä — ñåäëî; å — öåíòð.
2. Ïðåäåëüíûå öèêëû: à — íåóñòîé÷èâûé: á — óñòîé÷èâûé.
Ëèò.: Íåìûöêèé Â. Â., Ñòåïàíîâ â. Â. Êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì.- Ë., 1949 [áèáëèîãð. ñ. 541—546]; Àíäðîíîâ À. À., Âèòò À. À., Õàéêèí Ñ. 9. Òåîðèÿ êîëåáàíèé. Ì., 1959 [áèáëèîãð. ñ. 905—912]; Íåëåïèí Ð. À. Òî÷íûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè íåëèíåéíûõ àâòîìàòè÷åñêèõ ñèñòåì. Ë., 1967 [áèáëèîãð. ñ. 438—447]; Ôëþããå-Ëîòö È. Ìåòîä ôàçîâîé ïëîñêîñòè â òåîðèè ðåëåéíûõ ñèñòåì. Ïåð. ñ àíãë. Ì., 1959. Ð. À. Íåëåïèí.