§ 22. Операции над векторами

82. Сумма векторов.

Суммой векторов на плоскости с координатами называется вектор с с координатами

Для любых векторов

Каковы бы ни были точки A, D, С, имеет место ное равенство

Эта теорема дает следующий способ построения еуммы произвольных векторов а и Надо от конца вектора а отложить вектор равный вектору Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора является суммой векторов . Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника.

Имеет место такое векторное равенство: где А, В, С и В — вершины параллелограмма ABCD. Это еще одно правило сложения векторов — правило параллелограмма.

Если даны два вектора ОА и ОВ, то суммой векторов ОА и ОВ будет вектор ОС, где ОАСВ — параллелограмм (рис. 236).

Разностью векторов а на плоскости называется такой вектор с который в сумме с вектором дает вектор а, т. е. координаты вектора таковы:

Если даны векторы АС и AD (с общим началом), то разностью векторов АС и AD является вектор DC (рис. 235,6):

Это правило следует использовать при нахождении разности векторов.

Суммой векторов в пространстве называется вектор .

Так же как и на плоскости, доказывается векторное равенство

Правило параллелограмма для суммы двух векторов, непараллельных одной прямой, в пространстве сохраняется.

Сумма трех векторов, непараллельных одной плоскости, находится по правилу параллелепипеда. На рисунке 237 вектор равен сумме векторов а, b и с, отложенных от одной точки при этом отрезок является диагональю параллелепипеда

83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы.

Произведением вектора и числа К называется вектор .

Из определения операции умножения вектора на число следует, что для любого вектора а и чисел ,

Для любых двух векторов а и b и числа

Абсолютная величина равна Направление вектора при совпадает с направлением вектора а, если и противоположно направлению вектора о, если .

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направление положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.

Координатные на плоскости принято называть на оси на оси у. Любой вектор представляется в виде

Произведением вектора в пространстве и числа X называется вектор . Так же как и на плоскости, абсолютная величина вектора равна , а направление совпадает с направлением вектора а если и противоположно направлению вектора а, если

Для вектора в пространстве имеет место разложение:

где — координатные векторы.

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке 238 векторы а и b, b и с коллинеарные.

У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарны.

Пример 1. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна половине этой стороны.

Решение. Рассмотрим Пусть Тогда по правилу треугольника

Пусть М и N — середины сторон АВ и ВС треугольника ABC, тогда

Так как то . Таким образом, MN сонаправлен с АС, следовательно, . Так как то

Пример 2. Коллинеарны ли следующие векторы:

Решение, а) Координаты вектора пропорциональны координатам вектора так как

Поэтому и, следовательно, векторы а и b коллинеарны.

б) Координаты вектора не пропорциональны координатам вектора например, поэтому векторы с и d не коллинеарны. В самом деле, если предположить, что векторы с и d коллинеарны, то существует число к, такое, что Но в таком случае координаты вектора с пропорциональны координатам вектора d, что противоречит условию задачи.

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

84. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов на плоскости называется число Для скалярного произведения векторов употребляется такая же запись, как и для произведения чисел.

Скалярное произведение обозначается Очевидно,

Из определения скалярного пронзведениявекторов следует, что для любых векторов

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Пусть нам даны векторы АВ и CD, угол между которыми а, тогда откуда

Из следует, что скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно иулю, то векторы перпендикулярны.

На рисунке 240 изображены векторы ОА и ОВ, для которых Если то угол между ними равен 90°, т. е. эти векторы лежат на перпендикулярных прямых.

Скалярным произведением векторов а в пространстве называется число скалярного произведения двух векторов в пространстве справедлива теорема 6.5.

Пример 1. Даны векторы и . Найти такое число , при котором вектор перпендикулярен вектору

Решение. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.

Вектор имеет координаты тогда скалярное произведение векторов равно ,

Итак, при и b перпендикулярны.

Пример 2. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Решение. Пусть ABCD — параллелограмм (рис. 241). Пусть причем

По правилам сложения и вычитания векторов

Используя свойства скалярного квадрата, получим

Пример 3. В тетраэдре ABCD противоположные ребра AD и ВС, а также BD и АС взаимно перпендикулярны.

Доказать, что противоположные ребра CD и АВ также взаимно перпендикулярны.

Решение. Пусть Отсюда По условию , поэтому Следовательно, откуда . Из этих двух равенств следует, что или . Но поэтому и, значит, АВ

Пример 4. Дана правильная треугольная призма в которой . Найти угол между прямыми

Решение. Пусть тогда Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 243. Тогда вершины имеют следующие координаты: почему). Отсюда находим координаты векторов

Векторы принадлежат прямым АС и искомый угол между которыми обозначим через По получаем

ПРИЛОЖЕНИЯ