80. Инвариантность уравнений Эйлера и Остроградского.

При разыскании экстремума функции одной переменной мы можем совершать замену независимой переменной, вводя вместо новую независимую переменную причем мы считаем монотонной и имеющей производную, отличную от нуля. Правило дифференцирования сложной функции дает

Необходимое условие экстремума в новой независимой переменной будет и в силу это новое условие равносильно прежнему Можно получить формулу, аналогичную формуле (92), и для левой части уравнения Эйлера в различных случаях. Начнем с рассмотрения простейшего функционала:

и, для краткости письма, введем специальное обозначение для левой части уравнения Эйлера:

Вводя новую независимую переменную можем написать

и интеграл J в новой независимой переменной принимает вид

Вводя близкую функцию и производя обычные вычисления, мы получим

Это же выражение в новой независимой переменной может быть записано в таком виде:

Приравнивая оба полученные результата, можем написать

откуда ввиду произвольности функции согласно лемме 1 [71] будем иметь

причем символ, стоящий справа, должен быть раскрыт в предположении, что независимой переменной является т. е.

Формула (94) совершенно аналогична формуле (92), о которой , очевидно, равносильно уравнению Эйлера Все это может быть обобщено и на тот случай, когда подынтегральная функция содержит несколько искомых функций.

Рассмотрим функционал для случая двух независимых переменных:

Введем вместо две новые независимые переменные

причем мы считаем, что написанные функции имеют непрерывные производные и что соответствующий им функциональный определитель не обращается в нуль. Преобразуем подынтегральную функцию к новым независимым переменным:

Вводя, как и выше, близкую функцию дифференцируя интеграл по а и полагая будем иметь

где — результат преобразования области В при помощи указанной выше замены переменных, обычное обозначение для функционального определителя, и символ обозначает левую часть уравнения Остроградского, т. е., например,

Совершая в интеграле, стоящем в правой части формулы , замену переменных и пользуясь произвольностью функции мы

получим следующую формулу преобразования левой части уравнения Остроградского к новым независимым переменным:

Совершенно аналогичная формула получается и в случае большего числа независимых переменных. Уравнение Остроградского равносильно уравнению Остроградского в новых независимых переменных.

Можно совершать и одновременную замену независимых переменных и функции. Так, например, если мы в случае функционала (93) введем вместо новые переменные

то вместо функции в новых переменных будем иметь функцию Преобразуя функционал (93) к новым переменным, получим

и, как и выше, уравнение Эйлера будет равносильно уравнению Эйлера

В следующем параграфе мы исследуем уравнение Эйлера в том случае, когда функциональная зависимость задается в параметрической форме.