24. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ К ШРЕДИНГЕРОВСКОМУ ПОЛЮ

Будем рассматривать шредингеровское поле V во взаимодействии с внешним электромагнитным полем Если мы будем исходить из плотности лагранжиана, симметричной относительно полевой функции V и комлексно сопряженной ей полевой функции

где — потенциальная энергия, то плотность лагранжиана будет вещественной величиной:

что значительно упрощает вычисления.

Дифференцируя выражение (24.1) и используя обозначения, введенные в разд. 20, получаем формулы

Условие вещественности плотности лагранжиана (24.2) дает нам то преимущество, что соответствующие формулы, относящиеся к получаются просто заменой всех величин комплексно сопряженными значениями.

Уравнение Лагранжа (19.12) распадается в этом случае на два уравнения:

Подстановка в последнее уравнение полученных выше выражений для частных производных приводит к известному уравнению Шредингера

уравнение (24.6) при этом превращается в уравнение Щре-дингера для комплексно сопряженной функции.

Согласно равенству (20.5), находим плотность гамильтониана

которая тоже является вещественной:

В силу равенства (24.5) выражение (24.9) можно записать в следующем виде:

В этом примере мы имеем дело с особым случаем, поскольку в силу равенства (24.5) функция импульса П с точностью до некоторого постоянного множителя совпадает с полевой функцией аналогичное соотношение связывает величины П и На это обстоятельство следует обратить самое серьезное внимание, потому что теперь уже не будет выполняться предположение о независимости величин и Па, сделанное в разд. 20, и, следовательно, приведенные в том разделе формулы нельзя применять безоговорочно. Из-за указанной выше связи в выражении плотности гамильтониана появляются члены и , так что уравнения Гамильтона (20.19) необходимо обобщить следующим образом:

Соответственно этому мы должны выбрать надлежащее выражение для плотности гамильтониана. Учитывая соотношение

выражение (24.11) можно представить в следующем симметричном виде:

Отсюда находим

Подставляя эти выражения в уравнения Гамильтона (24.12) и (24.13), получаем

В этих двух уравнениях Гамильтона мы без труда узнаем уравнения Шредингера для функций и

Теперь перейдем собственно к применению теории Нётер. Поскольку теория Шредингера не является релятивистской, мы не будем заниматься симметриями, обусловленными преобразованиями координат, а исследуем только фазовую симметрию.

Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что плотность лагранжиана (24.1) инвариантна относительно фазового преобразования

где — вещественная константа. Для бесконечно малого преобразования (с бесконечно малым значением имеем

или

При применении общей теории будем исходить из дифференциального закона сохранения (22.69). В силу инвариантности плотности лагранжиана, так что

Подстановка в это уравнение выражений (24.4), (24.5) и (24.24) приводит к уравнению непрерывности

в котором фигурируют плотность вероятности

и плотность тока вероятности

Таким образом, из фазовой симметрии следует закон сохранения вероятности. В одночастичной теории этот закон сохранения можно отождествить с законом сохранения электрического заряда.