473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы.

В последующем мы ограничимся интегралами вида (1): все сказанное о них легко переносится на случаи (2) и (3). При этом мы всегда будем предполагать, что функция интегрируема в собственном смысле между любыми пределами так что вопрос относится только к несобственному интегралу от а до

Между несобственными интегралами и числовыми рядама существует глубокая аналогия, которую полезно подчеркнуть.

Если процесс суммирования по заменить процессом интегрирования по х, то аналогами будут

Мы перечислим простейшие теоремы о несобственных интегралах, сходные с теоремами п° 364 о рядах. Доказательство их - с использованием указанной аналогии - предоставляем читателю.

1°. Если сходится интеграл то сходится также интеграл и наоборот. При этом

2°. В случае сходимости интеграла имеем

3°. Из сходимости интеграла вытекает и сходимость интеграла причем

Наконец:

4°. Если сходятся оба интеграла то сходится интеграл